存在することを保証できますか $\epsilon' > 0$ この不平等に当てはまるようなものですか?
私は現在、乗法極限法を証明しようとしています。
しましょう $(a_n)^{\infty}_{n=m}, (b_n)^{\infty}_{n=m}$ 実数の収束シーケンスであり、 $X, Y$ 実数になります $X = \lim_{n\to \infty}a_n$ そして $Y = \lim_{n\to \infty}b_n$。 $$ \lim_{n \to \infty}a_nb_n = \left(\lim_{n\to \infty}a_n\right) \cdot \left(\lim_{n\to \infty}b_n\right) $$
両方から $(a_n)^{\infty}_{n=m}$ そして $(b_n)^{\infty}_{n=m}$ それぞれXとYに収束します。 $|a_n - X| \leq \epsilon'$ そして $|b_n - Y| \leq \delta$。
また、本の前半で証明したいくつかの補題によって、次のこともわかっています。 $|a - b| \leq \epsilon \land |c - d| \leq \delta \implies |ac - bd| \leq \epsilon \cdot |c| + \delta \cdot |a| + \epsilon \delta$。
これを使用してそれを示すことができるので、これは完璧です $|a_nb_n - XY| \leq \epsilon$ いくつかの任意の $\epsilon > 0$、存在することを示す限り $\epsilon' * |Y| \leq \frac{\epsilon}{3}$ そして、いくつかが存在すること $0 < \delta < 1$ そのような $\delta \cdot (|X| + \epsilon') \leq \frac{2}{3}\epsilon$
実数のアルキメデスの性質を使って最初の部分を証明することはできましたが、2番目の部分についてはよくわかりません。2番目の部分は、任意に小さいものを選択できるため、機能するはずです。$\delta$、しかし私はそれがすることを証明することはできません。私は何か間違ったことをしていますか?この証明を少し変更して機能させることは可能ですか?
回答
場合 $a_n \to a, b_n \to b$ それからいくつかあります $M$ そのような $|a|,|b_n| \le M$。
次に $|a_nb_n -ab| = |a_nb_n -a b_n + a b_n -ab| \le |a_n-a| |b_n| + |a| |b_n-b| \le M (|a-a_n|+ |b-b_n|)$。
今選択 $N$ 十分な大きさ $|a-a_n|, |b-b_n| < {\epsilon \over 2 M}$。