それを示す $2^n-1 \neq k^y$ 奇数の場合 $y$ [複製]
Dec 03 2020
にとって $n\in \mathbb N$、 $n>1$ 証明してください $$2^n-1 \neq k^y$$ すべてのために $k,y \in \mathbb N_{\geq 2}.$
矛盾があると仮定して $(k,y)$ そのような $2^n-1 = k^y$、偶数kと偶数yのペアが存在しないことを証明することに成功しました。
奇数yでも存在しないことを証明する必要があります。
この証明で使用する必要があります
$$\frac{x^{2k+1}+1}{x+1} = x^{2k} -x^{2k-1}+\cdots+1.$$
ありがとうございました!
回答
StinkingBishop Dec 03 2020 at 19:07
場合 $y$ 奇妙です(例: $y=2z+1$)、次に:
$$2^n=k^y+1=(k+1)(k^{2z}-k^{2z-1}+\ldots+ 1)$$
これは、右側の2番目の括弧内の合計が $2z+1$ 項はすべて奇数なので、合計は奇数です。
これはつまり、 $2^n\mid k+1$ 素因数のすべての出現として $2$ 最初の要素に存在する必要があります $k+1$。
しかし、私たちも持っているように $k+1\mid 2^n$、 この意味は $k+1=2^n$、すなわち $k=2^n-1=k^y$。だからどちらか$k=1$ など $2^n=2$、すなわち $n=1$ (矛盾)、または $k>1$、これは $y=1$ (矛盾)。