それを示す $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}\simeq\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z$

Aug 18 2020

それを示す $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}\simeq\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z$、 どこ $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}$ を法とする整数のグループです $15$ 乗算中。

これは最初の同型定理に関する質問ですが、直接の製品でそれを使用する方法がわかりません。グループが巡回であるかどうかを確認し、関数を見つけようとしました$f:\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z\to(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}$しかし、それは私をどこにも連れて行かなかった。可能であれば、ヒントが役立ちます。

回答

3 DietrichBurde Aug 18 2020 at 13:43

私たちはいつも持っています $$ (\Bbb Z/pq\Bbb Z)^{\times}\cong (\Bbb Z/p\Bbb Z)^{\times}\times (\Bbb Z/q\Bbb Z)^{\times}, $$ 素数の場合 $p$ そして $q$ CRT(中国剰余定理)による。

さらに、 $(\Bbb Z/p\Bbb Z)^{\times}\cong \Bbb Z/(p-1)\Bbb Z$

参照:

$\mathbb Z_{mn}$ 同型 $\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$ いつでも $m$ そして $n$ 互いに素です

私の証拠は $U_{pq}$ 次の場合は循環的ではありません $p$ そして $q$ 明確な奇数の素数は正しいですか?