それを示す $e^{-|x|^\alpha}$ です $\lambda^d$ すべてに統合可能 $\alpha>0$

Question

演習では、その機能を示すように求められます $x\mapsto e^{-|x|^\alpha}$ から $\mathbb{R}^d$ に $\mathbb{R}$ です $\lambda^d$ すべてに統合可能 $\alpha>0$、 どこ $\lambda^d$ ルベーグ測度を示します $\mathbb{R}^d$。ヒントとして、前の演習を参照して、同じ機能が$\mathbb{R}$ です $\lambda^1$ 可積分。

この質問では極座標を使用していますが、私の本ではまだこの手法を使用していません。むしろ、トネリの定理を使用する必要があると思いますが、各$d$ 以上の積分 $\mathbb{R}$？

Answer 1

これは、フビニの定理で行うことができます。しましょう$f : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ 次のような関数である

$$0 \leq f(x_1, \ldots, x_d) \leq \prod_{i=1}^d g_i (x_i)$$

すべてのために $(x_i)_{1 \leq i \leq d}$ およびいくつかの非負の関数 $g_i$。次に、フビニの定理により、次の積分を分割できます。$f$：

$$0 \leq \int_{\mathbb{R}^d} f \ d \lambda^d \leq \prod_{i=1}^d \int_{\mathbb{R}} g_i \ d \lambda^1.$$

さて、積分可能な関数を見つけるだけで十分です $g$ そのような $e^{-|x|^\alpha} \leq \prod_{i=1}^d g(x_i)$ どこにでも。

試すのが最も簡単なことは $g(x_i) = e^{-c |x_i|^\alpha}$ 一定の定数 $c > 0$ （これは $d$）。単調性により、不等式は次の場合にのみ成立します。

$$|x|^\alpha \geq c \sum_{i=1}^d |x_i|^\alpha$$

すべてのために $x \in \mathbb{R}^d$。これは行うことができます（たとえば、$c = 1/d$）が、この時点で、試してみましょう。