それを示す $\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$ に独自のソリューションがあります $\mathbb{R}$

Question

それを示す $\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$ に独自のソリューションがあります $\mathbb{R}$。

これは、数学のバークレー問題の問題の1つから派生したものです。

私の解決策（試み）は、authoursによって提示されたものよりもかなり短いです（彼らは、ユニークな解決策が $(0,54)$ ピカールの定理のローカルバージョンを使用してから、IFTを使用してこの近傍の明示的な解を見つけ、この解がで有効であることを証明します。 $\mathbb{R}$）だから私は何かを見逃していないことを確認したかった。

これが私の解決策です：

しましょう $f(x,y)= 5y +28\cos(y)$。修正$h >0$。連続関数の基本的な性質による$f$ 継続している $[-h,h] \times \mathbb{R}$ さらに、リプシッツ $y$このストリップに。これは、

$|f_y (x,y)|=|5-28\sin(y)| \leq 5+28|\sin(y)| \leq 5+28 = 33$ とMVT。

ピカールの定理が適用され、IVPには独自のソリューションがあることがわかります。 $[-h,h]$。

だが $h$ 恣意的だったので、IVPはすべての解決策を持っています $\mathbb{R}$。 $\blacksquare$

これは正しいです？一般に、グローバルソリューションの一意性/存在を証明する方法については少しわかりません...分析接続またはグローバルピカード？！

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私が使用しているピカールの定理のバージョンは次のとおりです。

IVP $y'(x) = f(x,y), y(a)=b$、に独自のソリューションがあります $\mathbb{R}$ 提供、 $\forall h:$

• $f$ 継続している $[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$

• $f$ リプシッツはyにあります $[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$。

Answer 1

あなたの考えは正しいです。劣線形の右側を使用すると、グローバルなソリューションが得られます。証明のアイデアは、例えばで探求されています

• 一次常微分方程式の解の存在。証明すべきことは何ですか？
• ODEの独自のソリューションの証明における不平等

ソースの問題は、標準のローカライズされた定理の後に、このよりグローバルなバージョンの定理を証明する努力をしなかったことである可能性があります。したがって、彼らは多くのローカルソリューションからソリューションを組み立てる必要があります。

あなたの状態の定式化で、あなたは上の解決策を得るだけであることに注意してください $[a-h,a+h]$、これはODEの探索されたドメインであるため、驚くべきことではありません。