それを示す $V_{\lambda'} \cong V_\lambda \otimes U$ どこ $V_\lambda$ Spechtモジュールであり $U$ の符号表現です $S_n$。

Question

これは、フルトン/ハリス表現理論の演習4.4（c）です。ほとんどの定義はここにあります：https://en.wikipedia.org/wiki/Young_symmetrizer。しましょう$\lambda \vdash n$。Spechtモジュール$V_\lambda$ の既約表現です $S_n$ 画像を介して定義 $\mathbb{C}[S_n]c_\lambda$ の $c_\lambda$ です $\mathbb{C}[S_n]$ どこ $c_\lambda$ヤング対称化作用素です。それを見せたい$$ V_{\lambda'} \cong V_\lambda \otimes U $$ どこ $U$ 符号表現であり、 $\lambda'$ のパーティションです $n$ に活用 $\lambda$。群代数のサブモジュールとして$\mathbb{C}[S_n]$、 我々は持っています $U = \mathbb{C} \sum_{\pi \in S_n} sgn(\pi) \pi$。

誰かが私がこれを示すのを手伝ってもらえますか？私は定義する必要があります$\mathbb{C}[S_n]$モジュールの同型ですが、Spechtモジュールの要素がどのように見えるかはよくわかりません。ジェームズなどでポリタブロイドを使用した証明を見たことがありますが、代わりに群代数のサブモジュールとしてのSpechtモジュールの構築を理解しようとしています。

Answer 1

しましょう $\Phi:\mathbb{C}[S_n]\rightarrow \mathbb{C}[S_n]$ 順列を送信する線形写像である $\sigma$ に ${\rm sgn}(\sigma)\ \sigma$。それはの代数自己同型です$\mathbb{C}[S_n]$ Spechtモジュールをマップします $\lambda$ 転置のためにそれに $\lambda'$。ヒント：この地図ですか$S_n$-同変？そうでない場合、どのようにそれを修正できますか？

Answer 2

Abdelmalek Abdesselamのヒントに従って、最初に定義します $\Phi:\mathbb{C}[S_n] \to \mathbb{C}[S_n]$ 経由 $\sigma \mapsto \text{sgn}(\sigma)\sigma$線形拡大。写像するのは代数自己同型です$V_\lambda \to V_{\lambda'}$。すべてのために$\pi,\sigma \in S_n$、 我々は持っています \begin{align*}\Phi(\pi\sigma) & = \text{sgn}(\pi) \pi \text{sgn}(\sigma) \sigma\\ & = \text{sgn}(\pi)\Phi(\sigma). \end{align*}

次に、マップを定義します $\rho:V_\lambda \otimes U \to V_{\lambda'}$ 経由 $\tau c_\lambda \otimes u \mapsto \Phi(\tau c_\lambda)u$線形拡大。終域は正しいので$\Phi(\tau c_\lambda) \in V_{\lambda'}$。この地図は$S_n$-任意のからの同変 $\pi,\tau \in S_n$ そして $u\in U$我々は、\ \ {* ALIGNを}ローを開始する（\ PI（\タウC_ \ラムダ\ otimes U））＆= \のRho（\ PI \タウC_ \ラムダ\ otimes \ PI U）＆（\テキスト{DEF。の$S_n$-内部テンソル積に対するアクション}）\\＆= \ Phi（\ pi \ tau c_ \ lambda）\ pi u \\＆= \ Phi（\ pi \ tau c_ \ lambda）\ text {sgn}（\ pi） u＆（\ text {since $U$ 符号表現です}）\\＆= \ text {sgn}（\ pi）\ pi \ Phi（\ tau c_ \ lambda）\ text {sgn}（\ pi）u＆（\ text {def。of $\Phi$}）\\＆= \ pi \ Phi（\ tau c_ \ lambda）u \\＆= \ pi \ rho（\ tau c_ \ lambda \ otimes u）。\ end {align *}