それを推測する $X$ 平均の正規分布を持っています $0$ と分散 $1$

Question

私は以前にGrimmet $ Welshからの問題について質問しました（そして@angryavianと@Graham Kempに感謝します）：

" $ X + Y $と$ X-Y $が独立している場合は、 \ begin {align} M \ left（2t \ right）= M \ left（t \ right）^ {3} M \ left（-t \ right）、\ end {align} ここで、$ X、Y $は、平均$ 0 $、分散$ 1 $、$ M（t）$が有限の独立したrvです。 "

これはリンクです： https://math.stackexchange.com/questions/3921684/moment-generating-function-applied-in-2t。

しかし、問題の「2番目の」部分があります。$ X $（および$ Y $）が、平均$ 0 $および分散$ 1 $の正規分布のrvであることを示すためです。

本自体sugest関数定義する$ \ PSI（T）= \ FRACを{M（T）}、{M（-t）} $を、その表示$ \ PSI（T）= \ PSI（2 ^ { - N} t）^ {2n} $。次いで、示すことが$ \ PSI（T）= 1 + O（T ^ {2}）$として0から$ T \ $と$ \ PSI（1）= 1 $ 0 $に$ N \。これにより、$ M（t）= M（-t）$であると結論付けることができ、これを主方程式（リンク以上の方程式）に適用すると、$ M（t）= M（\ frac {1} {2} t）^ {4} $。次に、本は、望ましい結果を得るために手順を繰り返すように言っています。だから、私はいくつかの質問があります：

1. どのように表示するには 、^ {2N} $ - $ \ psiの（T）= \ PSI（{n}はT 2 ^）を？
2. $ \ psi（t）= 1 + o（t ^ {2}）$の「o」はどういう意味ですか？（章を通してこれを見たのを覚えていません）
3. 望ましい結果を得るために繰り返す手順は何ですか？全部？最後の部分は？

もちろん、誰かがこの声明を証明する別の方法を知っているなら、私は非常に興奮します！よろしくお願いします！

Answer 1

ヒント：

• 質問の最初の部分を使用して、 $\psi(t) = \frac{M(t)}{M(-t)} = \frac{M(t/2)^3 M(-t/2)}{M(-t/2)^3 M(t/2)}$。表示するためにさらにいくつかの作業を行います$\psi(t) = \psi(t/2)^2$。

• $\psi(t) = \psi(t/2)^2$ より一般的な平等を意味します $\psi(t) = \psi(t/2^n)^{2n}$。

• のテイラー展開によって $\psi$、 我々は持っています $\psi(t) = \psi(0) + \psi'(0) t + \frac{1}{2} \psi''(0) t^2 + \frac{1}{6} \psi'''(\xi)t^3$ いくつかのための $\xi$ の間に $0$ そして $t$。私たちは知っています$\psi(0)=1$。我々は持っています $$\psi'(t) = \frac{M'(t)M(-t) + M(t)M'(-t)}{M(-t)^2}$$ そう $\psi'(0)=0$ （なぜなら $M'(t)=E[X]=0$）。私たちも持っています $$\psi''(t) = \frac{d}{dt}\frac{M'(t)M(-t) + M(t)M'(-t)}{M(-t)^2} = \frac{[M''(t)M(-t) - M(t) M''(-t)]M(-t)^2 + [M'(t)M(-t)+M(t)M'(-t)] 2 M(-t) M'(-t)}{M(-t)^4}$$ そう $\psi''(0)=0$ （以来 $M''(0)=E[X^2]=1$）。したがって、テイラー展開は $$\psi(t) = 1 + \frac{1}{6} \psi'''(\xi) t^3.$$ あなたが見せれば $\psi'''$ いくつかの定数によって制限されます $C$ ために $t$ ゼロに近い（これを示す簡単な方法は考えられません。3番目の瞬間が存在すると思います...多分誰かが私の混乱をここで片付けることができます）、そして私たちは $$\lim_{t \to 0} \frac{|\psi(t) - 1|}{t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{C}{6} |t| \to 0$$ これはの定義です $\psi(t)=1+o(t^2)$。

• $\psi(1) = \lim_{n \to \infty} \psi(2^{-n})^{2n} = \lim_{n \to \infty} (1 + o(2^{-2n}))^{2n} = 1$ （ここでは手順をスキップしています）

• $\psi(1)=1$ 意味する $M(t)=M(-t)$

• $M(2t) = M(t)^3 M(-t) = M(t)^4$

• $M(t) = M(t/2)^4$

• $M(t) = M(t/2^n)^{4n}$

• それを推測するには、さらにいくつかの作業を行う必要があります $M(t)=e^{-t^2/2}$ 上記の再発を満たす唯一の可能な候補MGFです。