それぞれ2つのバナッハセットのそれぞれの密なサブセット

Question

しましょう $A$ そして $B$独自の（おそらく異なる）規範を持つバナッハ空間であること。また、空でないサブセットがあります$S \subset A \cap B$ そのような $S$ で密集しています $A$ そして $B$ それぞれ。

次に、 $x \in A\cap B$、常にシーケンスを抽出できますか $\{s_n\} \subset S$ そのような $s_n \to x$ に $A$ そして $s_n \to x$ に $B$？

この質問は状況から一般化されます $A = L^1(\mathbb{R}^n)$、 $B = L^2(\mathbb{R}^n)$ そして $S = \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$、その場合、上記の条件を満たすシーケンスを見つけることができます。

助けていただければ幸いです！

Answer 1

これが私の提案した反例です。これは、の定理2で与えられた例の双対を考慮することから着想を得ています。http://faculty.missouri.edu/~stephen/preprints/interpolate.html。

しましょう $$ Z = L^1([0,1]) \oplus L^1([0,1]) \oplus L^1([0,1]). $$ しましょう $A$、 $B$ の部分空間である $Z$ 次の規範が有限であるように： $$ {\|(f,g,h)\|}_{A} = {\|f-g\|}_\infty + {\|g\|}_1 + {\|h\|}_\infty ,$$ $$ {\|(f,g,h)\|}_{B} = {\|f-h\|}_\infty + {\|g\|}_\infty + {\|h\|}_1 .$$ 両方のスペースは同型です $L^\infty([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]) \oplus L^1([0,1])$、つまりバナッハ空間です。

私たちはそれを計算することができます $$ {\|(f,g,h)\|}_{A \cap B} := \max\{{\|(f,g,h)\|}_{A},{\|(f,g,h)\|}_{B}\}\approx {\|f\|}_\infty + {\|g\|}_\infty + {\|h\|}_\infty ,$$ なぜなら $$ {\|(f,g,h)\|}_{A \cap B} \le {\|(f,g,h)\|}_{A} + {\|(f,g,h)\|}_{B} \le 3 ({\|f\|}_\infty + {\|g\|}_\infty + {\|h\|}_\infty) ,$$ そして \begin{align} {\|(f,g,h)\|}_{A \cap B} &\ge \tfrac12({\|(f,g,h)\|}_{A} + {\|(f,g,h)\|}_{B}) \\&\ge \tfrac14{\|f-g\|}_\infty + \tfrac14{\|f-h\|}_\infty + \tfrac12{\|g\|}_\infty + \tfrac12{\|h\|}_\infty \\&\ge \tfrac14({\|f\|}_\infty-{\|g\|}_\infty) + \tfrac14({\|f\|}_\infty-{\|h\|}_\infty) + \tfrac12{\|g\|}_\infty + \tfrac12{\|h\|}_\infty \\&\ge \tfrac14 ({\|f\|}_\infty + {\|g\|}_\infty + {\|h\|}_\infty) .\end{align} したがって、 $$ A \cap B = L^\infty([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]) .$$ しましょう $$ S = C([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]) \oplus L^\infty([0,1]). $$ 明らかに $S$ で密ではありません $A \cap B$。私たちは見せる$S$ で密集しています $A$、の引数として $S$ 密集 $B$ 本質的に同じです。

仮定します $x = (f,g,h) \in A$ と ${\|x\|}_A \le 1$、 あれは、 $$ {\|(f,g,h)\|}_A = {\|f - g\|}_\infty + {\|g\|}_1 + {\|h\|}_\infty \le 1.$$ ご了承ください $f-g\in L^\infty \subset L^1$、および $g\in L^1$、これは $f \in L^1$。しましょう$f_n \in C([0,1])$ そのようなこと ${\|f-f_n\|}_1 \to 0$。セットする$$ s_n = (f_n, g - f + f_n,h) .$$ 注意 $g - f + f_n = (g-f) + f_n \in L^\infty([0,1])$、 そう $s_n \in S$。その後、$n \to \infty$、 $$ {\|x - s_n\|}_A = {\|(f-f_n, f-f_n, 0)\|}_A = {\|f-f_n\|}_1 \to 0. $$