双対空間間の制限マップ

Question

有界作用素がないことに注意してください $T : c_0 \rightarrow c_{00}$ そのような $T|c_{00}$ アイデンティティマップです。

によって与えられた制限マップを検討してください $F:c_0^* \rightarrow c_{00}^*$、 どこ $F(f)(x)=f(x)$、 ために $f \in c_0^*, x \in c_{00}^*$。

私はそれが明確に定義されていることを示しました。私はそれが単射であるかどうか、そしてそれが全射であるかどうかを判断しようとしています。

私の直感は、それが全単射であるということです。 $c_0^*=c_{00}^*=l_1$、 いつ $c_0^* $ そして $c_{00}^*$ 最高基準の下にあります。

しかし、証明を作成する方法がわかりません。

Answer 1

（Jochenからのコメントに基づく）

単射については、 $f\in c_0^*$ 満たす $F(f)(x)=0$ すべてのために $x\in c_{00}$。次に、$f(x)=0$ すべてのために $x\in c_{00}$、 それ以来 $c_{00}$ で密集しています $c_0$ これは意味します $f=0$。

全射性については、 $g\in c_{00}^*$与えられます。以来$g$ 機能的です $c_{00}$、機能に拡張できます $f\in c_0^*$ハーン-バナッハの定理を使用します。ここで、拡張とは$f(x)=g(x)$ すべてのために $x\in c_{00}$。これは、$F(f)=g$、 したがって $F$ 全射です。