数演算子と生成および消滅演算子の指数関数を解きほぐす
数の合計、消滅、生成演算子の指数を解く方法はありますか？例えば、
$$e^{\alpha N + \beta a + \gamma a^\dagger } = e^{G a^\dagger}e^{A N}e^{B a}$$
どこ $G$、 $A$、および $B$ おそらく3つすべてのパラメータの各関数です $\alpha$、 $\beta$、および $\gamma$。
回答
コメント形式ではそのような拡張コメントは許可されていないため、回答ではありませんが、基本的に適切なアプローチに関する拡張コメントです。関係するグループはオシレーターグループであり、見つけた3d repは忠実なものであるため、そのグループ関係は一般に抽象グループにも当てはまります。したがって、すべての表現です。私はあなたの答えの中心的な要素CをZと呼びます、そしてそれはすべての表現からフィルターをかけ、すべてと通勤することができます。
リーの定理によってサポートされる一般的なステートメントは、すべてのグループ要素の積がリー代数のすべてのジェネレーターの線形結合の指数に近いということです。$$ 𝑒^{𝜃Z} 𝑒^{𝐺𝑎^†} 𝑒^{𝐴𝑁}𝑒^{𝐵𝑎}=𝑒^{𝜙'Z+𝛼𝑁+𝛽𝑎+𝛾𝑎^†}. $$ただし、Zはすべてのものと通勤するため、lhsの最初の因数を右に反転して、新しいパラメーターに組み込むことができます。$\phi'-\theta=\phi$、 そのため $$ 𝑒^{𝐺𝑎^†} 𝑒^{𝐴𝑁}𝑒^{𝐵𝑎}=𝑒^{𝜙Z+𝛼𝑁+𝛽𝑎+𝛾𝑎^†}, \tag{*} $$ ここで、パラメータ $\phi,\alpha,\beta, \gamma$ の機能であることが保証されています $G,A,B$。
さて、最初の3つのジェネレーターの冪零と、4番目のジェネレーターの対角線によって、lhsideは自明に次のように評価します。 $$ e^{-A/2} \begin{bmatrix}e^A & G & BG\\0 &1 &B\\0 &0 &e^A\end{bmatrix}, $$ 行列式付き $e^{A/2}$。
これは等しくなければなりません $$ \exp \begin{bmatrix} \alpha/2 & \gamma & -\phi\\0 &-\alpha/2 &\beta\\0 &0 &\alpha/2\end{bmatrix}. $$ その行列式は $e^{\alpha/2}$ アイデンティティによって $e^{\operatorname{Tr} M} = \det e^M$。
さて、そのパラメータの2次に、それは $$ \begin{bmatrix}1+ \alpha/2 +\alpha^2/8& \gamma & -\phi-\phi\alpha/2+\beta\gamma/2\\0 &1-\alpha/2 +\alpha^2/8&\beta\\0 &0 &1+\alpha/2+\alpha^2/8\end{bmatrix}. $$
上記のlhsideと比較すると、2次的に $$A=\alpha, \qquad B=\beta e^{\alpha/2}, \qquad G=\gamma e^{\alpha/2},$$ しかし、その後、右上のエントリが一致せず、消えないことが必要であることがわかります $\phi$、 $$ BGe^{-A/2}= \beta\gamma e^{\alpha/2}= \beta\gamma/2 -\phi(1+\alpha/2), $$たるみを取ります。少なくとも1回の整流が必要なため、これを確認するには2番目の順序に移動する必要がありました。$[a,a^\dagger]$ 中心的な要素を生成します。
それで、 $\phi$修正された表現（*）では実際に不可欠です。これは省略できる自由度ではありません。コメントを短くする時間がなかったことを（Pascalと共に）お詫びします。
私はこれらの2つの質問への答えを使用する方法を見つけたと思います：
https://mathoverflow.net/questions/163172/lie-group-about-the-quantum-harmonic-oscillator
指数演算子の解きほぐしと並べ替えはどのように機能しますか？
次の行列をラダー演算子にマップできます。
$a^\dagger\equiv A=\left[\matrix{0 & 1 & 0\\0 &0 &0\\0 &0 &0}\right]$、 $a \equiv B=\left[\matrix{0 & 0 & 0\\0 &0 &1\\0 &0 &0}\right]$、 $I\equiv C=\left[\matrix{0 & 0 & -1\\0 &0 &0\\0 &0 &0}\right]$、 $N\equiv D= \frac12\left[\matrix{1 & 0 & 0\\0 &-1 &0\\0 &0 &1}\right]$
行列A、B、C、Dは、ラダー演算子の交換関係を満たします。次に、これらの行列と一致係数を使用して、左側と右側を評価します。うまくいくようですが、リー代数の経験がないので、これが正しいアプローチであることを確認したいと思います。