すべての表現可能なファンクターは $\text{Psh}(\mathcal{C}\times{\mathcal{\Delta}})$ 弱同値を持つ $h_{(c,0)}$？
しましょう $\text{sPsh}(\mathcal{C})$ 私が見たい単純な前層のカテゴリーになります $$\text{sPsh}(\mathcal{C})=[\mathcal{C}^{\text{op}}\times\Delta^{\text{op}},\text{Set}]=\text{Psh}( \mathcal{C}\times \Delta).$$
しましょう $y:\mathcal{C}\to \text{Psh}(\mathcal{C})$ 米田の補題になりましょう $d:\text{Psh}(\mathcal{C})\to \text{sPsh}(\mathcal{C})$ 前層を取る関手になる $P$ 一定の単純な前層に $P$ あらゆる次元で $dP=(n \mapsto P[n]=P)$。これら2つを構成すると、埋め込みが取得されます$$r:\mathcal{C}\to \text{Psh}(\mathcal{C}) \to \text{sPsh}(\mathcal{C})$$ 構図としても見ることができます $$r:\mathcal{C}\to \mathcal{C}\times{\Delta}\to \text{Psh}(\mathcal{C}\times{\Delta})$$ $$c\mapsto(c,0)\mapsto( \ (a,n)\mapsto\text{Hom}_{\mathcal{C}\times{\Delta}}((a,n),(c,0))\cong \text{Hom}_{\mathcal{C}}(a,c) \ ).$$ 言い換えれば、私たちは取る $c$ に $(c,0)$ そして表現関数に $y(c,0)=h_{(c,0)},$ それ以来 $0$ のターミナルです $\Delta,$ 高価な単純な前層に対応します $n\mapsto h_c.$
したがって、完全なサブカテゴリがあります $$\{h_{(c,0)}: c\in \mathcal{C}\} \subset \text{sPsh}(\mathcal{C}).$$ 現在、一般的な表現可能な前層 $\text{sPsh}(\mathcal{C})$ 次の形式になります $$h_{(c,n)}:(a,m)\mapsto \text{Hom}((a,m),(c,n)).$$
私は（それが本当かどうかはわかりませんが）すべての人にそれを証明したいと思います $(c,n)\in \mathcal{C}\times{\Delta},$ Bousfield-Kanモデル構造の弱同値があります $$h_{(c,n)}\xrightarrow{\sim}h_{(c,0)}.$$
自然変換を証明することを考えていました $\eta:h_{(c,n)} \Rightarrow h_{(c,0)}$ それぞれに与えられる $(a,m)\in \mathcal{C}^{\text{op}}\times{\Delta^{\text{op}}}$ 投影によって $$\text{Hom}_{\mathcal{C}\times{\Delta}}((a,m),(c,n))=\text{Hom}_{\Delta}(m,n) \times{\text{Hom}_{\mathcal{C}}}(a,c)\to \text{Hom}_{\mathcal{C}}(a,c)$$ 弱同値です。
これは、BKモデルの構造では、 $a \in \mathcal{C}$ 射影は複体からの弱い同値です $m\mapsto \text{Hom}_{\Delta}(m,n) \times{\text{Hom}_{\mathcal{C}}}(a,c)$ 一定の複体セットに $m\mapsto \text{Hom}_{\mathcal{C}}(a,c).$
これは、これらの幾何学的実現が、コンパクトに生成された弱ハウスドルフ空間の弱同値であることを意味します。
しかし、これを証明する方法がわかりません。幾何学的な実現が製品を保存することは知っていますが、それほど遠くはありません。
回答
以来 $\def\Hom{\operatorname{Hom}}\Hom_{\mathcal C}(a,c)$ ただのセットであり、製品も非交和です $$\Hom_\Delta(-,[n])\times\Hom_{\mathcal C}(a,c) = \coprod_{\Hom_{\mathcal C}(a,c)}\Hom_\Delta(-,[n])$$ そしてこのように、への射影 $\Hom_{\mathcal C}(a,c)$ 単純写像の多くのコピーの余積です $\Hom_\Delta(-,[n])\to*$; つまり、投影はいくつかのコピーの余積です$\Delta[n]\to*$。
地図 $\Delta[n]\to*$ 標準シンプレックス以降の弱同値です $\Delta[n]$ は可縮であり、すべてのオブジェクトは $\mathbf{sSet}$ は共線維であるため、弱い同値の副積は、ケン・ブラウンの補題による弱い等価です（副積は、共線維オブジェクトの自明な共線維を保持し、したがって、共線維オブジェクトの弱い等価を保持します）。
したがって、そのマップを取得します $$ \Hom_\Delta(-,[n])\times\Hom_{\mathcal C}(a,c)=\coprod_{\Hom_{\mathcal C}(a,c)}\Delta[n]\to\coprod_{\Hom_{\mathcal C}(a,c)}*=\Hom_{\mathcal C}(a,c) $$ すべての弱同値です $a\in\mathcal C$、それを結論付けることができます $h_{(c,n)}\simeq h_{(c,0)}$ に $\operatorname{sPSh}\mathcal C$。