すべてのセットのクラスは整然としていますか？（広い意味で）
よく整理された適切なクラスという質問を見ました。そして、私は次のことを聞きたいです。
すべてのセットのクラスは線形に順序付けられていますか？つまり、ZFC集合論を使用すると仮定しましょう。（またはZFC +タルスキ公理。（1）ところで、そのようなシステムには既知の矛盾が含まれていますか？）すべての宇宙は、ゼルメロの定理によって秩序立っています。
（2）しかし、OrdとSetの間の全単射であるクラスは存在しますか？
宇宙のクラスは直線的に順序付けられていると思います。下の宇宙の順序を保持し、現在の宇宙と前の宇宙の間の集合論的差異の順序を追加することができます。（次の宇宙に属しているので、どちらもセットです。）（3）私のステートメントは有効ですか？
（4）それらを継続する方法、またはSetの秩序を逆に証明する方法は？
私が欲しいのは、すべての適切なクラスの「最小限の」要素が存在することをどういうわけか証明することです。
回答
（1）ほぼすべての集合理論家は、ZFCとZFC +タルスキの公理（または同等に、到達不能基数の適切なクラスを持つZFC）の一貫性を信じています。もちろん、それらが一貫している場合、Gödelの不完全性定理のためにその一貫性を証明することはできません。
（3）実際、すべての（タルスキ-グロタンディーク）宇宙のコレクションは秩序だっています：それらは形式です $V_\kappa$ アクセスできない人のために $\kappa$、およびアクセスできないすべてのクラスは、すべての序数のクラスのサブクラスです。したがって、それらは整然としています。（宇宙を単なるZFCのモデルを意味する場合、それらは線形に順序付けられていないことに注意してください。）
ただし、すべてのセットのクラスを証明することはできません $V$タルスキの公理があっても、この事実から秩序だった。各ステップで適切な順序を選択する必要があり、適切なクラスの多くの選択肢が必要です。これは、グローバル選択の公理がない限り正当化できません。
（2）すべての序数定義可能集合のクラス $\mathrm{OD}$ 序数のクラスの全単射画像です $\mathrm{Ord}$。実際、$X$ の全単射画像であるクラスです $\mathrm{Ord}$下に定義可能な全単射クラスの関数は、$X\subseteq \mathrm{OD}$。したがって、$V\neq \mathrm{OD}$、その後、間に定義可能な全単射はありません $\mathrm{Ord}$ そして $V$。
定義可能性を落としても、間に全単射があると仮定する理由はありません $\mathrm{Ord}$ そして $V$。Mathoverflowの関連する回答を参照してください。
（4）それらは同等であることが知られています：
- $V$ 秩序があり、
- からの全単射があります $\mathrm{Ord}$ に $V$、および
- グローバルチョイスの公理。
グローバル選択の公理を暗示するいくつかの公理があります。たとえば、構成可能性の公理は、標準的なグローバルな秩序が存在することを証明します。しかし、タルスキの公理を仮定しても、単なるZFCはグローバルチョイスの公理を証明するものではありません。したがって、あなたの理論からグローバルな選択を証明する方法はありません。