すべてのためにそれを証明する $n \in \mathbb{N}$、 $\sum_{k=0}^{n-1}{n+k-1\choose k}\frac 1{2^{n+k}}=\frac12$

Question

$$ \sum_{k=0}^{n-1}{n+k-1\choose k}\frac 1{2^{n+k}}=\frac12$$

正直なところ、始められませんが、

私はそれを解決する方法のアイデアを私に与えてくれるようにみんなにお願いしたいと思います、私に最初のプッシュを与えてください、ありがとう。

Answer 1

合計を次のように書き直します;$$\sum_{k=0}^{k=n-1}\binom{n+k-1}{n-1}\frac{1}{2^{n+k}}$$

これはただの係数です $x^{n-1}$ 拡張中 $$\frac{{(1+x)}^{n-1}}{2^n}+\frac{{(1+x)}^n}{2^{n+1}}...+\frac{{(1+x)}^{2n-2}}{2^{2n-1}}$$

これをGPとして認識します。したがって、次の係数を求めます。 $x^{n-1}$ に $$\frac{1}{2^{n-1}}{(1+x)}^{n-1}\frac{1-{(\frac{x+1}{2})}^n}{1-x}$$

または $$\frac{{(1+x)}^{n-1}(1+x+x^2..)-{(1+x)}^{2n-1}(1+x+x^2+x^3....)}{2^{2n-1}}$$ 係数は $$\frac{\left(\binom{n-1}{0}+\binom{n-1}{1}..+\binom{n-1}{n-1}\right)-\left(\binom{2n-1}{0}+\binom{2n-1}{1}+...\binom{2n-1}{n-1}\right)}{2^{2n-1}}$$ $$=\frac{2^{2n-1}-\frac{1}{2}2^{2n-1}}{2^{2n-1}}=\frac{1}{2}$$

Answer 2

ちなみに、合計される製品は、のPMFのように見えます https://en.wikipedia.org/wiki/Negative_binomial_distribution、それは持つまで繰り返し公正なコインを裏返すこと $n$ 頭、あります $\frac 12$ せいぜいあった確率 $n-1$ の前の尻尾 $n$頭。

しましょう $\Pr(A)$ せいぜいあった確率である $n-1$ の前の尻尾 $n$頭。

次に $1-\Pr(A)$ の確率になります $n$せいぜいあった間に尾が現れる $n-1$ 頭。

公正なコインの場合、頭と尾は対称であるため、

$$\Pr(A) = 1-\Pr(A) = \frac 12$$