数学の言語の制限は何ですか？
数学では集合の要素が何であるかを定性的に表現できないと言われました。たとえば、集合のメンバーがホワイトタイガーで構成されているとは言えません。したがって、数学は、数学の概念または数学のインスタンスに定性的な詳細を追加することはできません。英語のような書き言葉や話し言葉と比較して、数学の言語の他の制限のいくつかを知りたいです。
回答
数学言語は、単に世界について話すためのより厳密な方法です。この点で、どの言語にも制限がないという制限はありません。
今日、ジョーク、しゃれ、詩を数学的に表現する方法を誰も知らないということは、それらが数学的に表現できない可能性があることを意味するものではありません。たとえば、確率を数学的に表現する方法を誰も知らなかった時代がありました。
数学言語で書かれた詩がないという事実は、これができなかったことを意味するものではありません。むしろ、それは特殊な言語であり、したがってほとんどの人がそれを十分に理解していないという事実の直接的な結果のようです。
ジョークに関しては、形式論理学の言語で書かれたものがあります。
（φ⊃ψ）→（φ→ψ）
実はとても面白いですが、理解する必要があり、理解する人はほとんどいません。
ここの一部の解説者とは対照的に、どの文も明らかに数学化された「情報」に翻訳できるという事実にもかかわらず、数学と言語の間には大きな違いがあります。
ラッセル、論理実証主義者、その他は、言語と数学の両方を論理に還元することによって、言語の曖昧な性質を取り除くことに着手しました。作業は非常に実り多いものでしたが、プロジェクト自体は、少なくとも完全なシステムとしては失敗と見なされていました。ウィトゲンシュタインの初期と後期の間の休憩は、言語の広大で複雑で生き生きとした遂行的性質を考えると、この「失敗」の劇的なカプセル化を提供します。
そもそも、言語は具体化され、経験的で、主に口頭です。それは子宮内の振動から始まり、人間の生活、物理的状況、および生殖と継続します。単語を視覚的なアルファベットに書き写すことができますが、これらにはかなり不自然で骨の折れる学習プロセスが必要です。話された言葉にアクセスせずに、これらの視覚的な兆候を言語に戻すことはできません。粗雑な絵文字は別として、線文字Aなどの「死語」を、間接的ではあるが、生きている「話し言葉」との関係なしに翻訳または回復することはできません。
これは、言語が人生そのものと同じ種類の時間制限の不可逆性を持っているのに対し、数学は「可逆的」であり、したがって、ルーマンが言うように、「意味」が実際と可能性の関係で行わなければならない場合、意味がないことを示唆しています。数学は可能な限り多くの経験的内容を無効にしようとしますが、言語は経験であり、特定の歴史と環境を備えた具体化された話者を常に想定しています。
言語なしでは数学を学ぶことはできませんが、数学なしでは簡単に言語を学ぶことができます。もちろん、理論的には、AIは脳内および脳間を移動する独自の人間の言語スキルの数学化を伴うと主張する人もいるかもしれません。しかし、インテリジェントブレインの言語能力の1つは、自分自身を複製することです。一方、コンピューティングマシンが、人間を複製する環境の外で自分自身を複製できるかどうかは非常に疑わしいです。
純粋数学と応用数学には重要な違いがあります。
純粋数学は、「特定の初期の形式的条件または仮定が与えられた場合、結果はどうなるか」という一般的な形式の抽象的な真理に完全に関係しています。たとえば、公理システムでは、これらの形式的条件は、プリミティブ、関係、および公理に分割され、プリミティブ間で関係がどのように適用されるかを定義します。しかし、プリミティブと関係には本質的な意味はありません。
プリミティブに何らかの意味が適用されると、その演習は応用数学の1つになります。与えられた純粋数学の分野は、多くの異なる意味に帰することができ、それぞれが応用数学の異なる分野につながります。ダフィット・ヒルベルトがかつて公理幾何学について黙示録的に述べたように、テーブル、椅子、ビールジョッキに「点」、「線」、「平面」を完全に適用することができます。
したがって、原始的なプレースホルダーとしてのセットの要素の数学的特性は純粋数学の領域であり、ケージ一杯のホワイトタイガーの数学的特性は応用数学の領域です。
色と音楽の背後には確かな数学がたくさんあります。集合論では、色の数が異なる超限基数を持つ集合について話すことができます。
論理構造は、一般的に、および特定の概念について図解することができます。
それでも、私は自分の賭けをヘッジし、関連するすべての概念を関連する方法で独自の数学化に関連付けることができるかどうかわからないと言います。成功が見込めない場合は、いわば文章題がまだわからないのかもしれません。