スキームの視覚化 $\mathrm{Spec} \, k[x,y_1,y_2,\dots,y_n]/(y_1^2,\dots,y_n^2)$

Question

しましょう $k$ 代数的閉体である（私にとっては使用しています $k=\mathbb C$）。そんなこと知ってる$\mathrm{Spec} \, k[x]/(x^2)$ 単に素イデアルで構成されています $(x)$。確かに、理想$\mathfrak p$ の $k[x]/(x^2)$ の理想です $k[x]$ そのような $(x^2) \subset \mathfrak p$。

今考えれば $\mathrm{Spec} \, k[x,y]/(y^2)$、今の素イデアル $k[x,y]$ です $(0)$、 $(x-a,y-b)$ にとって $a,b \in k$ および既約多項式 $f(x,y)$ 生成 $(f(x,y))$。

明らかに $(y^2)\not\subset (0)$。既約多項式については、$(y^2) \subset k[x,y]f(x,y)$、だから私はこれらと全単射の理想は形であると言うのは正しいと思います $(a+f(x)y+g(x))$ どこ $a,b \in k$ そして $f,g$既約。私は推測する$(x-a,y-b)$ それらによる商は整域を与えるので、剰余環の素イデアルでもあります。

今、私は一般化を理解することに興味があります $\mathrm{Spec} \, k[x,y_1,y_2,\dots,y_n]/(y_1^2,\dots,y_n^2)$。特に：

• このリングのスペクトルのすべての要素を分類できますか？ $n \geq 1$？
• このスキームを視覚化できますか？また、文献のある文脈で研究されていますか？

Answer 1

しましょう $R=\frac {k[y_1,y_2,\dots ,y_n]}{(y_1^2,y_2^2,\dots , y_n^2)} $

次に $\operatorname {Spec} \frac {k[x,y_1,y_2,\dots ,y_n]}{(y_1^2,y_2^2,\dots , y_n^2)}=\operatorname{Spec} R[x]= \mathbb A^1_R$、リング上のアフィン線 $R$。それ以来それを観察する$m= (\bar y_1,\bar y_2, \dots , \bar y_n )$、の冪零極大イデアルです $R$、 $\operatorname {Spec} R= \{m \}$つまり、それはマンフォードの意味でのファットポイントです。

場合 $p\in \mathbb A^1_R$、の画像を検討してください $\operatorname {Spec} R$ 構造射の下で $\mathbb A^1_R\xrightarrow{\pi} \operatorname{Spec} R$。したがって、$\pi(p)=m$。

私たちが持っているので $R/m \cong k $、1対1の対応が見られます $$\operatorname{Spec} R[x] \leftrightarrow \operatorname {Spec }k[x]$$

したがって、 $\textbf{sets}$ あなたが持っている $\mathbb A^1_R =\mathbb A^1_k $

しかしもちろん、構造の束は異なります。 $\mathbb A^1_R$ 構造束に冪零があります。