$\sum_{a\lt n\le b}\phi (n)=\int_a^b \phi (x)\, dx+\int_a^b (x-[x]-\frac{1}{2})\phi '(x)\, dx+(a-[a]-\frac{1}{2})\phi (a)-(b-[b]-\frac{1}{2})\phi (b)$
ティッチマーシュのリーマンゼータ関数の理論、 13ページから：
しましょう $\phi (x)$ 区間内に連続導関数を持つ任意の関数である $[a,b]$。次に、$[x]$ を超えない最大の整数を示します $x$、 $$\sum_{a\lt n\le b}\phi (n)=\int_a^b \phi (x)\, dx+\int_a^b \left(x-[x]-\frac{1}{2}\right)\phi '(x)\, dx+\left(a-[a]-\frac{1}{2}\right)\phi (a)-\left(b-[b]-\frac{1}{2}\right)\phi (b).$$
この本にはこれを証明するものはなく、この定理の「名前」が何であるかはわかりません。この定理を理解したいのですが、どこから始めればいいのか全くわかりません。
回答
しましょう $\rho(t)=\frac12 -(t-[t])=\frac{1}{2} - \{t\}$、 どこ $\{t\}$ の小数部分です $t$。
証拠のスケッチ：
詳細はお任せします。これがこのアイデンティティにアプローチする1つの方法です。
- まず、注意してください $\rho$ は $1$-周期関数、そしてそれ $\rho'(t)=-1$ にとって $x\in [k,k-1)$、 $k\in\mathbb{Z}$。にとって$k\leq \alpha<b\leq k+1$、部分積分を2回使用します（1回は $u=f(t)$ そして $dv=\rho'(t)\,dt$; と別の$u=f'(t)$ そして $dv=\sigma'(t)\,dt=\rho(t)\,dt$） 取得するため
$$ \begin{align} -\int^\beta_\alpha f(t)\,dt &= \int^\beta_\alpha f(t)\rho'(t)\,dt\\ &=\rho(\beta-)f(\beta)-\rho(\alpha)f(\alpha)-\int^\beta_\alpha \rho(t)\,f'(t)\,dt \end{align} $$
整数間隔で追加できるようになりました $[k,k+1]\subset(a,b]$ その後、潜在的に分数の間隔で $(a,[a]+1]$、 $[[b],b]$ 望ましい結果を得るために。
編集：より一般的でエレガントな証明は、パーツによる統合によって取得できます。
補題：レッツ$F$ そして $G$ 局所的に有限な変動の右連続関数である $I$、そして $\mu_G$、 $\mu_F$ によって誘発された符号付き測度です $G$ そして $F$それぞれ。次に、任意のコンパクトな間隔で$[a,b]\subset I$、 $$ \begin{align} \int_{(a,b]} F(t)\,\mu_G(dt)=F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int_{(a,b]}G(t-)\,\mu_F(dt) \end{align} $$ どこ $G(t-)=\lim_{s\nearrow t}G(s)$。
OPの場合、
数え上げ測度を検討する $\mu(dt)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\delta_{n}$ とルベーグ測度 $\lambda$、両方ともで定義 $(\mathbb{R}\mathscr{B}(\mathbb{R}))$。しましょう$\phi(dt)=(\lambda-\mu)(dt)$。そのことに注意してください$\Phi(t):=\phi((0,t])=t-[t]=\{t\}$。
$$ \begin{align} \sum_{a< n\leq b}f(n)-\int^b_af(t)\,dt &=-\int^b_af(t)\,(\mu(dt)-\lambda(dt))=-\int^b_af(t)\phi(dt) \end{align} $$
上記の見出語を $f$ 代わりに $F$ そして $\Phi$ 代わりに $G$、私たちはそれを持っています $\mu_f(dt)=f'(t)\,dt$ そして $\mu_{\Phi}(dt)=\phi(dt)$ など、
$$ \begin{align} \int^b_af(t)\phi(dt) &= f(t)\Phi(t)|^b_a -\int^b_a\Phi(t-)\, f'(t)\,dt\\ &=f(b)\{b\}-f(a)\{a\}-\int^b_a\Phi(t)\,f'(t)\,dt\\ &= f(b)(b-[b])-f(a)(a-[a)] -\int^b_a(t-[t])\,f'(t)\,dt \end{align} $$
どこからの変化 $\Phi(t-)$ に $\Phi(t)$ という事実から続く $\Phi(t-)=\Phi(t)$ $\lambda$-なので
結論は、足し算と引き算によって続きます $\frac12$ 最後の積分で。
これはAbel-Summationによるものです： $$\sum_{a<n\leq b} f(n) = f(b) \sum_{a<n\leq b} 1 - \int_a^b \sum_{a<n\leq t} 1 \cdot f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(b) \left( \lfloor b \rfloor - \lfloor a \rfloor \right) - \int_a^b \left( \lfloor t \rfloor - \lfloor a \rfloor \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(b) \lfloor b \rfloor - f(a) \lfloor a \rfloor + \int_a^b \left(t - \lfloor t \rfloor - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - t \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(a) \left( a - \lfloor a \rfloor - \frac{1}{2} \right) - f(b) \left( b - \lfloor b \rfloor - \frac{1}{2} \right) + \int_a^b f(t) \, {\rm d}t + \int_a^b \left(t - \lfloor t \rfloor - \frac{1}{2} \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(a) \, B_1\left( a - \lfloor a \rfloor \right) - f(b) \, B_1\left( b - \lfloor b \rfloor \right) + \int_a^b f(t) \, {\rm d}t + \int_a^b B_1\left( t - \lfloor t \rfloor \right) f'(t) \, {\rm d}t \, ,$$ どこ $B_1(x)$は最初のベルヌーイ多項式です。前に述べたように、$1/2$-用語は冗長です。
を使用して部品ごとに連続的に統合することにより $\int B_n(x) \, {\rm d}x = \frac{B_{n+1}(x)}{n+1}$、次の場合にオイラー-マクラウリン公式を取得します $a,b$ 整数です。