寸法と埋め込みと混同
私はトポロジーに不慣れであり、この、おそらく非常に単純な（または哲学的な）質問について事前に謝罪します。
私はいつもトーラスをドーナツ型の表面だと思っていました $\mathbb{R}^3$。しかし、トポロジーの研究を始めた後、トーラスは$S^1 \times S^1$ そしてそれは自然に定義されています $\mathbb{R}^4$。しかし同時に、私が理解したように、トーラスの人気のある3D表現はに埋め込まれています$\mathbb{R}^3$したがって、埋め込みの定義により、自然な4Dトーラスは、容易に視覚化できる3Dトーラスと同相です。
トーラスを構築するために（辺を識別することによって）正方形の商を取るとき、これを視覚化するために自分自身をだましていませんか？ $\mathbb{R}^3$、実際の4Dトーラスの「スライス」を取得するだけなので。ここで、埋め込みは同相写像であると述べて自分の質問に答えたかもしれませんが、それでも次元、埋め込み、同相写像の間の関係は何かを理解したいと思います。
トーラスを定義するには2つのポイントで十分なので、トーラスは2次元です（各トーラスに1つのポイント） $S^1$）、しかし各円は自然に $\mathbb{R}^2$、したがって、私たちは必要です $\mathbb{R}^4$。
トーラスを「投影」すると、「情報」が失われますか？ $\mathbb{R}^4$ に $\mathbb{R}^3$？それは視覚障害だけですか、それともトポロジー的ですか？
スリーボールを取り入れることを想像できます $\mathbb{R^3}$ で2ボール（ディスク）に「縮小」します $\mathbb{R}^2$ 沿って $z \to 0$。この移行中$\mathbb{R}^3$ に $\mathbb{R}^2$ 私たちは明らかに視覚的情報と位相的情報の両方を失いました（n-ballはm-ballと同相です $\iff$ n = m）。
同相写像は「内側」の次元を保持しますが、外側（外因性）空間を「気にしません」か？
回答
私は実際には「自然な」トーラスを次のように見ていません $S^1 \times S^1$ 座って $\mathbb{R}^4$。トーラスを見るには、同等の（同相）方法が複数あります。そのうちの1つは、おなじみの「ドーナツ」の絵です。他の2つは次のようになります$S^1 \times S^1$ 座って $\mathbb{R}^4$、またはあなたが示したように、正方形の商として。
肝心なのは、数学者にとって、トーラスはそれ自体がオブジェクトであるということです。埋め込むことができる周囲のユークリッド空間が存在するかどうかは、ある意味では無関係です。これは、その形状を定義する「オープンサブセット」のコレクションを含むポイントのセットにすぎません。
あなたの質問に来るために：位相空間（例えば、空間 $X$これは、商トポロジーを運ぶ反対側を識別することによって正方形の商です）、ユークリッド空間に埋め込むことによってそれを視覚化することを試みることができます。位相空間の埋め込み$X$ ユークリッド空間に $\mathbb{R}^n$ ただの地図です $\phi: X \rightarrow \mathbb{R}^n$ そのような $\phi: X \rightarrow \phi(X)$ 同相写像です。
だから、それは $X$ に埋め込むことができます $\mathbb{R}^3$、だけでなく $\mathbb{R}^4$。これらをの「実現」と考えてください$X$いくつかのより大きな周囲空間で。これらの認識は両方とも同相である$X$（ええと、埋め込みとは何かの定義によると）、したがって、それらは互いに同相でもあります。したがって、情報が失われることはありません。
トーラスの「ドーナツ」の絵を、の実現の投影版と考えるのは正しくありません。 $\mathbb{R}^4$。投影は行われません（3Dで垂直円柱を水平面の円スライスに投影する場合など）。ドーナツは4D形状の3Dスライスではなく、同じ形状です。
トーラスの寸法は次のように言うのは正しいです $2$。この寸法は、周囲空間にも依存しません。したがって、同相写像はこの次元を保持し、外在次元を気にしません。ここには少し注意点があります。位相空間に対して「次元」が何を意味するかを定義するのはかなり難しいため、トーラスが次元2であるという主張を証明するのは困難です。