スペクトル定理の2つのバージョン？
私は自分でスペクトル定理（有界自己随伴作用素）を研究していて、NikWeaverの素晴らしい本をフォローしています。まず、いくつかの表記法を紹介します。
表記： If$\mathcal{H}$ ヒルベルト空間です、 $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ はすべての有界線形演算子の（バナッハ空間）です $A: \mathcal{H} \to \mathcal{H}$。場合$A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$、 $\mbox{sp}(A)$ のスペクトルです $A$。
さあ、 $(X, \mathcal{F},\mu)$ である $\sigma$-有限測度空間。測定可能なヒルベルトバンドル$X$ 非交和です： $$\mathcal{X} = \bigcup_{n\in \mathbb{N}}(X_{n}\times \mathcal{H}_{n}) $$ どこ $\{X_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ の測定可能なパーティションです $X$ そして、それぞれについて $0 \le n \le \infty$、 $\mathcal{H}_{n}$ 次元を持つヒルベルト空間です $n$。
最終的に、 $f: X \to \mathcal{H}$ 関数が弱可測である場合 $x \mapsto \langle f(x),v\rangle$ すべての人にとって測定可能です $v \in \mathcal{H}$。私たちは$L^{2}(X;\mathcal{H})$ すべての弱可測関数のセット $f: X \to \mathcal{H}$ そのような： $$||f|| := \int_{x}||f(x)||^{2}d\mu(x) < +\infty $$ほとんどどこでもゼロであるモジュロ関数。これは内積のあるヒルベルト空間です：$$\langle f,g\rangle := \int_{x}\langle f(x),g(x)\rangle d\mu(x) $$ 場合 $f \in L^{2}(X;\mathcal{H})$、 $M_{f}$ による演算子の乗算です $f$。また、$L^{2}(X;\mathcal{X}) := \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}L^{2}(\mathcal{X}_{n};\mathcal{H}_{n})$。
さて、この参考文献のスペクトル定理の記述は次のとおりです。
定理：レッツ$\mathcal{B}(\mathcal{H})$自己随伴する。次に、確率測度が終了します$\mu$ オン $\mbox{sp}(A)$、測定可能なヒルベルトバンドル $\mathcal{X}$ 以上 $\mbox{sp}(A)$ と等長同型 $U: L^{2}(\mbox{sp}(A);\mathcal{X}) \to \mathcal{H}$ そのような $A = UM_{x}U^{-1}$。
しかし、私はこの定理の別のバージョンにもっと興味があります。これは、ディモックの本に記載されており、次のようになります（適応表記付き）
定理：レッツ$A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$自己随伴する。次に、メジャースペースが存在します$(\mathcal{M},\mathcal{\Omega},\mu)$、有界可測関数 $\tau: \mathcal{M}\to \mathbb{R}$ とユニタリ作用素 $U: \mathcal{H}\to L^{2}(\mathcal{M},\mu)$ そのような $A = UM_{\tau}U^{-1}$。
質問：ウィーバーのバージョンからスペクトル定理のディモックのバージョンを取得するにはどうすればよいですか？
回答
しましょう $\mathcal{M}$ で構成される非交和である $n$ のコピー $X_n$ それぞれについて $n$。上の与えられた測定$\mbox{sp}(A)$ の測定に制限します $X_n$ したがって、 $\mathcal{M}$。次に同型写像があります$L^2(\mathcal{M})\cong L^2(\mbox{sp}(A);\mathcal{X})$：それぞれに正規直交基底を選択した場合 $\mathcal{H}_n$、その後 $L^2(X_n;\mathcal{H}_n)$ の直和です $n$ のコピー $L^2(X_n)$、そしてあなたがこれらのすべての直和を取るとき $n$ あなたが得る $L^2(\mathcal{M})$。この同型$L^2(\mathcal{M})\cong L^2(\mbox{sp}(A);\mathcal{X})$ 乗算を回します $x$ オン $\mbox{sp}(A)$ 関数による乗算に $\tau$ オン $\mathcal{M}$ これは包含関数によって与えられます $X_n\to\mathbb{R}$ それぞれの各コピーに $X_n$。
（あるいは、ウィーバーのバージョンを直接使用せずに、ディモックのバージョンは、ウィーバーと同じ証明を使用しますが、系3.4.3の代わりに彼の定理3.4.2を使用します。ウィーバー自身がこれについてコメントします（分離不可能な場合には、よく）62ページの上部にあります。）