対称多項式を分解します $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3^2}$ 基本対称多項式に。

Aug 18 2020

私が使用しようとしている方法には、次のいずれかが含まれます（たとえば、すべての指数が等しくない場合） $\Sigma{x_1x_2^2}$）可能な限り高い等しい指数で単項式を繰り返し抽出します（したがって、上記の等しくない指数の例の場合） $(\Sigma{x_1})(\Sigma{x_1x_2})$）または、質問のタイトルのように、すべての指数が等しい場合、つまり私が質問しているもののように、指数を合計の外に移動するので、ここでの最初のステップは $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3^2}$ = $(\Sigma{x_1x_2x_3})^2$。明らかにこれは$E_3^2$、2つの間で共通している変数の数に基づいて、減算する必要のある項とともに $E_3$の $E_3^2$：0、1、または2。共通点がない場合は、次のいずれかを使用できます。 $E_3$の6つの不定の合計から3つの選択を決定するので、その用語は $2E_6$。私の考えでは、1つの不定形が共通している場合は、さらに分解する必要のある式が得られます。$\Sigma{x_1^2x_2x_3}$、それは乗算されます $E_2$。同様に、2つの不定元が共通している場合は、さらに分解する必要のある式を取得します。$\Sigma{x_1^2x_2^2x_3}$、それは乗算されます $E_1$。これまでのところ、これを解決するための私の試みは、おそらく本の答えに向かっているようです。$E_3^2 + 2E_1E_5 - 2E_2E_4 -2E_6$。しかし、さらに分解する私の次のステップ$\Sigma{x_1^2x_2x_3}$ そして $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3}$ はるかに複雑な用語につながり、キャンセルはなく、次のような単純な用語のセットにつながることがわかりました。 $E_1E_5$、 $E_2E_4$、および $E_6$ 減算する $E_3^2$。また、本は追加しています$E_1E_5$用語を戻すと、私が間違っている一連の分解があることを示唆しています。おそらくキャンセルが含まれます。誰かが私がこれを間違っているところを示すことができますか？

回答

1 Alien Aug 26 2020 at 03:24

エラーの鍵は、 $E_6$ 単に2回だけ表示されるのではなく、実際に表示されます ${6 \choose 3} = 20$回。一方、与えられた$\sum x_1^2x_2x_3x_4x_5$ 実際にあります ${4 \choose 2} = 6$ 同じ式を設定する方法、 $\sum x_1^2x_2^2x_3x_4$設定する方法は2つだけです。また、作成された新しい単項式は、例ほど単純ではありません。これは、式全体が次数6である必要があるため、見やすくなっています。

説明すると、単項式が与えられます $abcdef$ に $E_6$、この単項式を作成できます $abc \cdot def$、 $abd \cdot cef$、など。6つの作品から3つの要素を選択するすべての方法。与えられた$abcde^2$ に $E_5E_1$、単項式を作成できます $abe \cdot cde$、 $ace \cdot bde$、など。4つの作品から2つの要素を選択するすべての方法。この正確なプロセスは、以下の計算で係数を決定するために使用されます。

この計算はエラーが発生しやすいため、最初から最後まで計算全体を実行し、これらの手順に対して結果を確認できます。

表記： $S_n = E_n, P_{a, b, c, ...} = \sum \limits_{\text{sym}} x_1^ax_2^bx_3^c...$、どこ $S_n$ 基本対称多項式の代替表記法であり、 $P_{a,b,c...}$ Muirheadタイプの略語です。