多様体の接空間がベクトル空間であることを証明するために何が必要ですか？[複製]
私は現在、曲線の同値類である接線ベクトルの定義に取り組んでいます。そう$v =[\gamma]$ そして $w=[\sigma]$ どこ $v,w$ベクトルです。この2つの同値類の合計が、ベクトル空間構造を与える同値類でもあることを証明したいと思います。合計を次のように定義します。
$v+w= [\phi^{-1} \circ (\phi \circ \gamma + \phi \circ \sigma)]$
どこ $\phi$チャートです。曲線がマニフォールドに属している場合、曲線を追加できないことを理解しています。そのため、最初に、それを実行できる実数にマッピングします。合計が定義されたので、それがその時点で別のクラスであることをどのように証明できますか$p$ オン $M$。地図が通り過ぎることを確認するだけで十分ですか$p$？スカラーによる乗算についても同じ質問があります。ありがとう
回答
あなたの投稿をもっと注意深く読んだので、ここにあなたの間違いの1文の要約があります：あなたは曲線を追加（そしてスカラー倍算）しようとしています$\Bbb{R}^n$、速度ではなく。ご覧のとおり、曲線を追加すると、基点が台無しになります。
セットとして、 $T_pM$ は滑らかな曲線の同値類のセットです。 $[\gamma]$、 どこ $\gamma$ を含むいくつかのオープンインターバルで定義されます $0$ そのような $\gamma(0)=p$。さて、どんなチャートでも$(U,\phi)$ ポイントについて $p$、関数を検討してください $F_{\phi,p}:T_pM \to \Bbb{R}^n$ として定義 \begin{align} F_{\phi,p}([\gamma]):= (\phi\circ \gamma)'(0). \end{align}この関数は、同値関係がどのように定義されているかにより、明確に定義されています。直感的な意味に注意してください。$\gamma$ マニホールド内の値を持つ曲線です $M$、したがって、チャートを使用すると、対応する曲線を取得できます $\phi\circ \gamma$ バナッハ空間（つまり、ノルムベクトル空間）の値を持つ $\Bbb{R}^n$、およびベクトル空間の設定で微積分がどのように機能するかを知っています。だから、このすべての地図$F_{\phi,p}$ カーブが必要ですか $[\gamma]$ そしてそれを「速度ベクトル」にマッピングします $(\phi\circ \gamma)'(0)$。これが直感的であることを願っています（そうでない場合は、いくつかの絵を描いて各オブジェクトがどこにあるかを確認してください）。
今、それを確認することも簡単です $F_{\phi,p}$全単射関数です。それを確認するのはあなたに任せます$G_{\phi,p}:\Bbb{R}^n\to T_pM$ として定義 \begin{align} G_{\phi,p}(v):= [t\mapsto \phi^{-1}(\phi(p)+tv)] \end{align}は逆関数です。言い換えれば、私たちがしているのは、ベクトルを取っているということです$v\in\Bbb{R}^n$、および直線を考慮する $t\mapsto \phi(p)+tv$。これはその点に基づく曲線です$\phi(p)$、 方向 $v$。以来$\phi$ は同相写像であり、十分に小さい値の場合、 $t$、 我々は持っています $\phi(p)+tv\in \phi(U)=\text{domain}(\phi^{-1})$、したがって、曲線の同値類を考慮することができます $t\mapsto \phi^{-1}(\phi(p)+tv)$。
では、この余分な表記は何をもたらしたのでしょうか？さて、全単射関数があります$F_{\phi,p}:T_pM\to \Bbb{R}^n$、 そしてもちろん、 $\Bbb{R}^n$ はベクトル空間であるため、基本的な線形代数によって、のベクトル空間構造を「引き戻す」ことができます。 $\Bbb{R}^n$ 作るために $F_{\phi,p}$線形同型。明示的に言うと、加算とスカラー倍算を定義できるということです$+_{\phi}$ そして $\cdot_{\phi}$ （これまでのところすべてがチャートに依存しているため、下付き文字を付けました）次のようになります。 \begin{align} \begin{cases} [\gamma_1]+_{\phi} [\gamma_2]&:= F_{\phi,p}^{-1}\bigg(F_{\phi,p}([\gamma_1])+ F_{\phi,p}([\gamma_2])\bigg)\\ c\cdot_{\phi}[\gamma]&:= F_{\phi,p}^{-1}\bigg(c\cdot F_{\phi,p}([\gamma])\bigg) \end{cases} \end{align}
すべての定義をほどくと、 \begin{align} c\cdot_{\phi}[\gamma_1]+_{\cdot}[\gamma_2]= [t\mapsto \phi^{-1}\left(\phi(p) + t(c\cdot (\phi\circ \gamma_1)'(0)+(\phi\circ \gamma_2)'(0))\right)] \end{align} うまくいけば、アイデアは十分に明確です：あなたは全単射を持っているので、あなたはただすべてを前進させ、計算をします $\Bbb{R}^n$、次にすべてをに戻す $T_pM$、そしてそれが加算とスカラー倍算の定義方法です。すべてのベクトル空間公理が満たされていること、そしてそれはあなたに任せます$F_{\phi,p}$ 線形同型などです。
最後に注意すべきことは、これまでのところ、加算とスカラー倍算は特定のチャートを使用して定義されているということです。 $(U,\phi)$、しかし実際には、別のチャートがあるかどうかを確認するのは単純な連鎖律の演習です $(V,\psi)$、その後 $+_{\phi}=+_{\psi}$ そして $\cdot_{\phi}=\cdot_{\psi}$、したがって、上のベクトル空間構造 $T_pM$ 実際にはチャートに依存しないため、次のように示します。 $+$ そして $\cdot$いつものように。定義をほどき、連鎖律などを使用してこれを確認するのはあなたに任せます。問題が発生した場合は、お知らせください。詳しく説明させていただきます。