とのトラブル $I(\alpha) = \int_0^{\infty} \frac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} dx$

Question

私は最終的に解決しようとしています $$I(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} dx$$

積分の下で微分を使用することによって。これは剰余を使用して最も簡単に実行できることを理解していますが、この問題は、実際の分析を行う前に、高度な微積分2 /微分方程式の学生にいくつかの興味深い手法を紹介することを目的としています。

初めて積分の下で微分すると、

$$I'(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{-x \sin (\alpha x)}{x^2 + 1} dx = - \dfrac{\pi}{2} + \int_0^{\infty} \dfrac{\sin (\alpha x)}{x(x^2 + 1)}dx$$

ディリクレ積分を利用することによって、そして再び

$$I''(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} = I(\alpha)$$

この2次常微分方程式を解くには、2つの初期条件が必要です。の積分$I'(\alpha)$ 間違った結果につながる $I'(0) = 0$ しかし、書き直されたバージョンは、の正しい結果につながります $I'(0) = -\dfrac{\pi}{2}$。私はこれを正当化するのに苦労しています。

任意のヘルプやガイダンスをいただければ幸いです。私はまた、理由についてのより単純な議論に落ち着きます$I'(0) \neq 0$。

Answer 1

あなたはそれを仮定しています $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\alpha x)}{x}dx= \frac{\pi}{2} $$ しかし、 $\alpha=0$、その後 $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\alpha x)}{x}dx=0 $$ だから、平等 $$ \int_{0}^{\infty}\frac{−x\sin(αx)}{x^2+1}dx=-\frac{π}{2}+\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(αx)}{x(x^2+1)}dx $$ 本当の場合 $\alpha>0$。