とは $\Pr(X + Y < 0)$ どこ $X \sim U(0,1)$ そして $Y \sim N(0, 1)$? $X$ そして $Y$ 独立している

Aug 19 2020

これは私がこれまでに試みたことです:

\begin{align} f_X = 1 \\ f_Y = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-0.5y^2) \end{align}

次に、 $Z = X + Y$ そして私達は持っています

\begin{align} f_Z(z) = \int_0^1 f_X(x) f_Y(z - x) \, dx \\ f_Z(z) = \int_0^1 1 \cdot f_Y(z - x) \, dx \\ = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-0.5(x - z)^2) \, dx \end{align}

そう \begin{align} Pr(Z \leq 0) = \int_{-\infty}^0 \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-0.5(x-z)^2) \, dx \, dz \\ = \int_{-\infty}^0 \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-0.5x^2) \exp(- 0.5z^2) \exp(0.5xz)\,dx\,dz \\ \end{align}

これは、評価するのが面倒な統合になるようです。私が正しいアプローチを取っているかどうかはわかりません。これにはもっと簡単な方法がありますか?

回答

1 J.G. Aug 19 2020 at 03:13

仮定 $X,\,Y$ 独立している:

したい $Y$-平均 $Pr(X<-Y)$、固定で $Y$ です $0$ もし $Y\ge0$$1$ もし $Y<-1$ そして $-Y$さもないと。平均は$$\int_{-\infty}^{-1}f_Y(y)dy-\int_{-1}^0yf(y)dy=\Phi(-1)+\tfrac{1-e^{-1/2}}{\sqrt{2\pi}}\approx0.315.$$

1 tommik Aug 19 2020 at 03:27

XとYが独立していると述べないようにすることは非常に大きなエラーです。書かれているように、運動は解決できません。

したがって、独立性を前提として、最初に次のことを観察します。 $Y<-1$ それは常に真実です $X+Y<0$ そしてこれは確率で起こります $\Phi(-1)\approx 15.87\%$

残りの場合、 $Y>-1$ 解くべき積分は

$$\int_{-1}^{0}\phi(y)dy\int_{0}^{-y}dx=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-1}^{0}ye^{-\frac{y^2}{2}}dy=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}[e^{-\frac{y^2}{2}}]_{-1}^{0}=\frac{1-e^{-0.5}}{\sqrt{2\pi}}$$

下の紫色の領域の積分です

Alex Aug 19 2020 at 23:51

の完全な分布を導き出す方が良いと思います $Z=X+Y$CDFの畳み込み式を使用します。PDFに畳み込みを使用したとき、$$ f_Z(z) = \Phi(z)-\Phi(z-1), -\infty<z<\infty $$これは統合が非常に難しいため、代わりにCDFに畳み込みを使用しました。そうではない$Y \sim R(0,1)$、その後 $F_Y(y) = P(Y<y) = P(Y<z-x)$、したがって: $$ F_Y(z-x)= \left\{ \begin{array}{lr} 0 & x>z\\ z-x & 0<z-x<1\\ 1 & x<z-1 \end{array} \right. $$ だから私たちはのpdfを無視することができます $X$ もし $ X>z$。2番目のケースでは、次の境界があります。$z-1<x<z$、およびのCDF $Y$ です $z-x$、3番目のケースでは、のCDF $Y$ です $1$、だから私たちはただのpdfを取る $X$ ために $-\infty<x<z-1$。以来$-\infty <z<\infty$、これら3つのケースをまとめただけです。 \begin{align} P(Z<z) &= F_Z(z) = \int_{z-1}^{z}(z-x)\varphi_X(x)dx + \Phi(z-1) \\ &= z(\Phi(z)-\Phi(z-1)) - \int_{z-1}^{z}x\varphi(x)dx + \Phi(z-1), -\infty <z< \infty \end{align} どこ $\varphi, \Phi$標準正規分布の密度と累積分布関数です。プラグを差し込むことによって$z=0$結果が得られます。このCDFは理にかなっていることに注意してください。$$ \lim_{z \to \pm \infty} z(\Phi(z)-\Phi(z-1)) = 0 \ \ (1)\\ \lim_{z\to \infty} \int_{z-1}^{z}x\varphi(x)dx = 0 \ \ (2)\\ \lim_{z \to \infty} F_Z(z) = 1\\ \lim_{z \to -\infty} F_Z(z) = 0 $$ ここで、(1)と(2)の両方は、上界と下界をとることによって証明できます。 $z$ そして $x$対応する間隔で、制限を取ります。また注意してください$z-x$は常に正であるため、式全体が常に正です。今度は導関数wrtを取ります$z$ (標識に注意してください) $$ f_Z(z) = \Phi(z) - \Phi(z-1), \ -\infty <z< \infty $$ また、制限を確認してください。