閉じていない表面上の二重積分を評価する方法は？

Question

しましょう $\vec{F}=(x+2y)e^zi+(ye^z+x^2)j+y^2zk$ そしてしましょう $S$ 表面になる $x^2+y^2+z=1$、 $z\geq 0$。場合$\hat{n}$ に垂直な単位です $S$ そして $$\left|\iint_S(\nabla\times \vec{F})\cdot \hat{n}\, dS\right|=\alpha\pi.$$ 次に $\alpha=?$

表面Sが閉じていないため、ここではガウス発散定理を適用できません。では、この質問をどのように進めるのですか？助けてください。

Answer 1

サーフェスの境界がカーブであることに注意してください $\{(x,y,z):x^2+y^2=1\cap z=0\}$ストークスの定理によれば、2つの表面が同じ境界を共有する場合、両方の表面の回転の積分は同じになります。つまり、

$$\iint\limits_S (\nabla \times F)\cdot dS = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS$$

両方とも上向きまたは下向きです。

なぜこれが人生を楽にするのですか？手始めに、間のヤコビアン$z=0$ 飛行機といつもの $xy$ 座標は $1$ （それ自体からそれ自体までのあらゆるもののヤコビアンは $1$）および法線ベクトルは、 $z$ 方向。つまり、カール全体を計算する必要はなく、 $z$ コンポーネント、つまり

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2x-2e^z$$

これにより、次の等式が得られます

$$\iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2x-2e^0\:dA = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2x\:dA - \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2\:dA$$

$2x$ は奇関数なので、その積分はディスク上で次のように消えます。 $x$対称。残っている唯一の積分は定数です。これは、表面積にその定数を掛けたものです。

$$\iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS = -2\pi$$

したがって、 $\alpha =2$