特定のグループを探す $G$ と $H,K\unlhd G$、 $H\cong K$ そして $(G/H)\ncong(G/K)$ [複製]

Question

群論の教科書から問題を解決しようとしています。それは言う：

特定のグループを探す $G$ と $H,K\unlhd G$、それは検証します $H\cong K$ だが $(G/H)\ncong(G/K)$。

どのグループを検討すればよいかわかりません。最初はクォータニオンについて考えました$Q_8$、しかし私は解決策を見つけられませんでした（私の本では、この種の演習は $Q_8$）。それから私はdiedricグループを検討しました$D_n$ と対称 $Sn$しかし、何も得られませんでした。この問題の可能な解決策は何ですか？よろしくお願いします。

Answer 1

だからあなたはただ考えることができます $G = \mathbb Z, H= 2 \mathbb Z, K = 3 \mathbb Z$。次に$H \cong K$ だが $\lvert G / H \rvert = 2$ そして $\lvert G / K \rvert = 3$、したがって $G / H \not\cong G / K$。