特定のサブセットの証明はCWサブコンプレックスです

Question

ハッチャーの代数的トポロジーからの証明の詳細に問題があります（興味のある人のためのp。520の提案A.1、関連性はないと思います）：CW複体があります$X$ と $n$-細胞 $e_\alpha^n \subset X$、およびこのセルのアタッチマップの画像は有限サブコンプレックスに含まれています $A \subset X$。ハッチャーは$A \cup e_\alpha^n$は有限のサブコンプレックスですが、理由がわかりません。私はその境界を示しようとしています$e_\alpha^n$ に含まれています $A$しかし、私はどこにも行きません。一般的に、閉鎖は本当ですか$n$-セルは、添付マップのイメージとの結合ですか？

編集：本はまだそれを証明していないので、CW複体がハウスドルフであるという事実を呼び出さずにこれを証明したいと思います。

Answer 1

CW複体がハウスドルフであることを示すのは非常に簡単です。心配な場合は証明に含めてください。

この事実により、オープンセルの閉鎖 $e \rightarrow X$ の画像です $e \cup S^n \rightarrow X$オープンセルと境界上の特性マップを含めることによって与えられます。それの訳は$e \cup S^n = D^{n+1}$はコンパクトであり、コンパクトセットのイメージはコンパクトであり、ハウスドルフ空間では閉じていることを意味します。これは、の画像を含む最小の閉集合です。$e$ 標数マップの画像内の任意の点がの画像の境界にあるため $e$。