友達との賭け

Aug 25 2020

あなたの友人であるジェームズはあなたを彼と一緒に賭けるように誘いました。

彼は公正なサイコロを持っています $3$ 表示されている顔 $0$ そして $3$ 表示されている顔 $1$。あなたは彼に支払います$\\\$70 $。彼はサイコロを$ 15 $回投げ、すべての投げの数の合計を記録し、記録された数の2乗ドルをあなたに与えます。期待される利益または損失は何ですか？

ボーナス：期待される利益を得るには、少なくとも何回のダイスローが必要ですか？

自分で問題。この質問をするためにアイデンティティを見つけなければならないので、これは教科書スタイルの問題ではないはずです。

回答

10 GarethMcCaughan Aug 25 2020 at 20:09

私たちが持っているとしましょう $n$サイコロ。次に

あなたが得る $k^2$ 確率で ${n\choose k}/2^n$ そしてあなたの期待（無視して $\\\$70ドルのプレイ料金）は$ 2 ^ {-n} \ sum k ^ 2 {n \ choice k} $です。我々は持っている$ kは{n個のkを選択\} = N $ {N-1 K-1を選択してください\}これは等しいので、$ 2 ^ -和のk $ {N-1は、K-1を選択し\} \ N {N}を。書き込み$ K =を（K-1）+ 1 $とで同じIDを使用して、$ N-1、K-1 $の代わりに$ N、$ k個我々は、これが等しいことを確認$ 2 ^ { - N}をN（N- 1）\ sum {n-2 \ choice k-2} + 2 ^ {-n} n \ sum {n-1 \ choice k-1} = \ frac14n（n-1）+ \ frac12n = \ frac14n（n +1）$。

$ N = 15 $

予想される賞金はゲームあたり60ドルで、プレイするために支払う70ドルを補うには不十分です。そのためには、$ n（n + 1）\ geq280 $が必要です。これは、最初に$ n = 17 $で発生します。

楽しみのために、これが私が上で使用したアイデンティティを証明するためのsmartassの組み合わせの方法です：

我々は必要な$ \和のk ^ 2 {N \ k個を選ぶ} = 2 ^ {N-2} n（nは+ 1）$を。最初の項は、$ n $のセットからいくつかの数（たとえば$ k $）のボールを選択し、次に$ k $の1つを2回選択する方法の数です。それを行う代わりに、（$ n $のフルセットから）1つのボールを2回選択し、次に他のサブセットを選択して$ k $のセットに入力するとします。同じボールを2回選ぶ場合、これを行うには$ n \ cdot2 ^ {n-1} $の方法があります。あり$ 2 {N \ 2を選択} \ cdot2 ^ {N-2} $我々は開始時に別のボールを選ぶ場合は、それを行う方法。これらを追加すると、必要な結果が得られます。

おそらく、もう少し簡単にそれを行うためのより賢い方法があります。

7 PaulPanzer Aug 25 2020 at 21:08

@Gareth McCaughanがよりスマートなパンツソリューションを求めていたとき：

計算するように求められるのは、二項分布の2番目の生のモーメントです。これは、すべてよく知られている分散と平均の2乗として書くことができます。$\sigma^2 + \mu^2 = np(1-p) + (np)^2 = 60$与えられたパラメータで。予想損失は$\\\$10ドル

$ 16,17 $の値は$ 68,76.5 $です。したがって、勝利を期待するには、17ドルのコインが必要です。

2 Eddymage Aug 25 2020 at 19:59

この解決策は間違っていますが、混乱させる方法の優れた例だと思うので、ここに残しておきます $\rm{E}[x^2]$ そして $\rm{E}[x]^2$。

取得する確率 $0$ （または $1$）は $1/2$したがって、説明したプロセスは、パラメーターを使用した二項分布に従います。$1/2$。したがって、合計の期待値は次のようになります。$15*\frac12=7.5$、したがってあなたの友人はあなたに与えるでしょう $56.25$ ドル、結果としての損失 $13.75$ ドル。

最小数 $n$ お金を稼ぐためのダイスロールの数は次の式で与えられます $$ (np)^2>70 $$ これは $$ n>\sqrt{70}p^{-1} = 16.73 $$（負の解は破棄します）。そして最終的な答えは$$ n=17 $$ このサイコロゲームは、公正なコインを投げるときに頭の数を数えるのと同じです。