上面が黒の場合、反対側が白になる可能性はどのくらいありますか?
質問:帽子には、両面に30%の白、片面に50%の黒、もう片面に白、両面に20%の黒のカードが多数含まれています。カードが混同された後、1枚のカードがランダムに引き出されてテーブルに置かれます。上面が黒の場合、反対側が白になる可能性はどのくらいありますか?
私の試み:条件付き確率の定義を使用すると、次のようになります。$P(W|B)=\frac{P(W\cap B)}{P(B)}=0.5/0.7=5/7$
しかし、実際の答えは5/9です。どこで私は間違えましたか?
回答
それほど単純ではありません。
選択したカードの上面が黒である確率は $0.7$ そしてここに理由があります:
あります $0.2$両面が黒のカードを選ぶチャンス。簡単です...しかし、$0.5$黒/白のカードの可能性があるので、どちら側が上を向いているかを考慮する必要があります。どちらの側も同じ確率で上昇する可能性があると想定するのは自然なことのように思われます。だから、$0.5^2$黒/白のカードが選択される可能性と黒側が黒に選択されたカードの上面側であること総確率をもたらし、アップ直面しています$0.2 + 0.5^2$
この事実が明らかになったので、おそらくここから問題を終わらせることができます!
それについて考える1つの方法は、代わりに、どのカードが選ばれたかというイベントとその向きを分析することです。したがって、3つのイベント(WW、BW、BB)の代わりに、4つのイベント(WW、BW、WB、BB)があります。
次に、確率は
WW:30%
BW:25%
WB:25%
BB:20%
ランダムなカードを取り、ランダムな向きに置くと、上部が黒であることがわかります。したがって、BWまたはBBのいずれかになります。BWが発生する可能性は25%、BBが発生する可能性は20%であるため、$\frac{25}{25+20} = \frac{5}{9}$。
私はそれをカードを選ぶことではなく、(あるカードの)側面を選ぶことだと思います。そして、私たちが持っているふりをしましょう$100$カード。だからあなたはランダムに1つを選びます$200$側面。それからあります$50\cdot1+20\cdot2=90$黒い側面。そのうち、$50$反対側に白が付いています。そう$\frac{50}{90} = \frac{5}{9}$ 白の反対側のチャンス。