ヤコビの楕円関数を含むいくつかの積分を計算します
次の積分を評価したい $$\displaystyle \int_{0}^{K} \text{dn}^3(u;k)\text{sn}(u;k)^2\;\text{du},\tag{1}$$ そして $$\displaystyle \int_{0}^{K} \text{dn}(u;k)\text{sn}(u;k)^2\text{cn}(u;k)^2\;\text{du},\tag{2}$$ どこ $\text{sn}$、 $\text{dn}$ そして $\text{cn}$ヤコビの楕円形のスノイダル、ドノイダル、クノイダル関数です。$K:=K(k)$ は、第1の種類と数の完全な楕円積分です。 $k \in \left(0,1\right)$ モジュラスと呼ばれます。
私はすでにリファレンスを参照しました $[1]$私を助けるいくつかの式を探していましたが、何も見つかりませんでした。これらの積分には明示的な形式がありますか?私を助けるために私が参照できる他の参考文献はありますか?
$[1]$PFバード。MDフリードマン。エンジニアと科学者のための楕円積分のハンドブック。Springer-Verlag New York Heidelberg Berlim、$1971$。
回答
基本関係によって(B&F 121.00) $\newcommand{sn}{\operatorname{sn}}\newcommand{cn}{\operatorname{cn}}\newcommand{dn}{\operatorname{dn}}$ $$\sn^2u+\cn^2u=1$$ $$k^2\sn^2u+\dn^2u=1$$ 最初に与えられた積分をに変換することができます $$\int_0^K\dn u(1-k^2\sn^2u)\sn^2u\,du$$ B&F 364.03により、これを完全に有理な積分として書き直すことができ、簡単に評価できます。 $$=2\int_0^1\left(\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2-k^2\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^4\right)\frac1{1+t^2}\,dt=\frac{\pi(4-3k^2)}{16}$$ 2番目に与えられた積分を変換すると、次のようになります。 $$\int_0^K\dn u(1-\sn^2u)\sn^2u\,du$$ その時点で、これは最初に与えられた積分の特別な場合であることがわかります。 $k^2=1$、したがって、すぐに次のような結果が得られます。 $\frac\pi{16}$。