有限/無限群
次の説明のうち、正しいものはどれですか。
a）すべての非単位元が位数を持つ有限群は無限にあります $2$。
b）すべての非単位元が秩序を持っている無限群が存在する $2$。
c）位数の要素がある無限群が存在する $n$ すべてのために $n\in \Bbb N$。
d）各非単位元が有限の位数を持つ無限群が無限にあります。
私の試み：オプション2はそのようなグループの例があるので正しいようです（対称差の二項演算の下での自然数のべき集合はそのような例の1つです）が、他のオプションについては何も結論付けることができません。
オプション1については、念頭に置いておくと本当のようです。 $\Bbb Z_2\times \Bbb Z_2\times\cdots$しかし、それでも私は混乱しています。最後の2つのオプションについては、ここで適用できる決定的なアイデアはありません。ご案内ください。
回答
（a） $n\geq 1$、 $\prod_{i=1}^n\Bbb{Z}_2$ すべての重要な要素が位数を持つ有限群です $2$。したがって、そのようなグループは無限にあります。
（b） $\prod_{i=1}^{\infty}\Bbb{Z}_2$ 目的のグループです。
（c）あなたは例を考えるかもしれません $\Bbb{Q}/\Bbb{Z}$。その後、すべての$n\in \Bbb{N}$、 $\frac{1}{n}+\Bbb{Z}$ 秩序の要素です $n$ に $\Bbb{Q}/\Bbb{Z}$。
（d） $n\geq 2$、 $\prod_{i=1}^{\infty}\Bbb{Z}_n$は、すべての自明でない要素が有限の位数を持つ無限群です。したがって、そのようなグループは無限にあります。
概念化が容易な場合は、グループ全体が無限であっても、各要素を有限にすることができます。
たとえば、（2）の場合、次の各要素を取得できます。 $G$ からなる有限シーケンスになる $1$ そして $-1$ で終わる $-1$（アイデンティティはヌルシーケンスです）。見つけるには$ab$、の値を乗算します $a$ そして $b$ ペアワイズ、最後にシーケンスを終了します $-1$。長さが異なる場合は、追加します$1$ それらを同じ長さにするのに十分な回数短いものに、そして乗算します。 $G$ 個々の要素の長さは有限ですが、それらの有限の長さは無限にあるため、は無限大です。
同様の戦略が（3）と（4）でも機能します。（3）の場合、次のような有限シーケンスを取ります。$n$th値はの要素です $\mathbb Z_n$、シーケンスが長さ1でない限り、最後の値はそうではありません $1$。（4）については、（3）のバリエーションを単純に採用します。たとえば、次の場所でシーケンスを開始できます。$\mathbb Z_k$。または取る$k$ （3）等の写し