有理関数の部分和

Question

私は最近、その結果に出くわしました

$$\sum_{n=2}^\infty \frac{n^4-n^3+n+1}{n^6-1} = \frac{1}{2}$$

これをどのように証明できるのか、一般的には有理関数の合計をどのように評価できるのか疑問に思います。

合計をWolframAlphaに接続すると、

$$\frac{3k^4-k-2}{6k(k+1)(k^2+k+1)}$$

として $k$-番目の部分和。限界をとる$n \to \infty$、これは実際には上位の平等を証明します。

悲しいことに、WolframAlphasの部分和の結果を取得する方法に頭を悩ませることはできませんでした。誰かがアイデアを持っているなら私に知らせてください。ヒントは大歓迎です。

Answer 1

一言で言えば、望遠鏡という用語はいい意味で。

部分分数を使用すると、 $$ \frac{n^4-n^3+n+1}{n^6-1} = \frac{1}{3}\left(\frac{n - 2}{n^2 - n + 1}- \frac{n-1}{n^2 + n + 1} + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1}\right) $$調和級数が発散するため、少し注意する必要があります。したがって、反対の符号を持つ項のみをグループ化する必要があります。最後の2つの用語は、よく知られている畳み込み級数を形成します。$$ \frac{1}{3}\sum_{n=2}^{m}\left(\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1} \right)= \frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}\right)\longrightarrow \frac{1}{2} $$最初の2期の望遠鏡も同様で、2期目はその前の望遠鏡を食べます。 $$ \frac{1}{3}\sum_{n=2}^{m}\left(\frac{n - 2}{n^2 - n + 1}- \frac{n-1}{n^2 + n + 1} \right)= -\frac{1}{3}\cdot \frac{m-1}{m^2+m+1}\longrightarrow 0 $$この種のことは一般的には機能しませんが、私は口の中で贈り物の馬を見ません。