ゼロと7で割り切れるその桁の乗算を含まない4桁の数字はいくつありますか?

Aug 15 2020

私は数学の本で質問を見ました、それは非常に些細なようです、それはそれを言います:

ゼロと7で割り切れるその桁の乗算を含まない4桁の数字はいくつありますか?

私は考えました:

(ゼロを含まない4桁の数字すべて)マイナス(7と0を含まない4桁の数字すべて)

ゼロを含まない4桁の数字すべてを見つけ、その4桁を7で割り切れる数にするため。

次に $(9^4)-(8^4)=2465$。しかし答えは$4904$。何が足りないのですか?

回答

2 Axel Aug 15 2020 at 17:54

あなたの最初の答えは、あなたが与えた声明に関して正しいです、確かに:

しましょう $(a,b,c,d) \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}^4$。そう$A = 1000a+100b+10c+d $ は4桁の数字です。

さらに、 $a\cdot b \cdot c \cdot d $ で割り切れる $7$、その素因数分解に少なくとも1つの時間が含まれている場合に限り、 $7$ したがって、少なくとも1つが $A$の桁は等しい $7$。したがって、答えは$9^4-8^4 = 2465$ あなたが言ったように。

ただし、4桁の数字の積がで割り切れるような数を探している場合$7$ 答えは $4904 = 8(10^3-8^3) + 10^3$。あなたはそれをチェックすることができます:4桁の番号のために$A$ その桁の積をで割り切れる $7$、含まれている必要があります $0$ または $7$

しましょう $A = 1000a+100b+10c+d$ どこ $0\leq a,b,c,d \leq 9$ は整数であり $a \neq0$

場合 $a=7$ その後、あなたは可能なすべての組み合わせを持つことができます $b,c$ そして $d$。したがって、それはあなたに与えます$10^3$ 選択肢。

場合 $a \neq 7$、それからあなたは数を探しています $n$ 少なくとも持つ可能性の $b,c$ または $d$ に等しい $0$ または $7$。さらに、あなたは正確に持っています$8^3$ の可能性 $b$$c$ そして $d$ 等しくない $0$ また $7$。したがって、$n = 10^3-8^3$。最後にあります$8$ の可能性 $a$ とは違う $7$

したがって、あなたが探している数は $8(10^3-8^3)+10^3 = 4904$