Ableitung der bivariaten Gaußschen Kopuladichte
Die hier abgeleitete multivariate Gaußsche Kopuladichte ist
$$c(u_1,\ldots,u_n;\Sigma)=|\Sigma|^{-\frac{1}{2}}\exp\!\left(-\frac{1}{2}x^{\top}(\Sigma^{-1}-I)x\right)$$ wo $\Sigma$ ist die Kovarianzmatrix und $x=[\Phi^{-1}(u_1),\ldots,\Phi^{-1}(u_n)]^{\top}$.
Die bivariate Gaußsche Kopuladichte , basierend auf dem paarweisen Korrelationskoeffizienten$\rho$ist $$ c\left(u_{1}, u_{2} ; \rho\right)=\frac{1}{\sqrt{1-\rho^{2}}} \exp \left\{-\frac{\rho^{2}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)-2 \rho x_{1} x_{2}}{2\left(1-\rho^{2}\right)}\right\} $$
Was ist die Ableitung der zweiten Formel von der ersten?
Antworten
Beachten Sie dies bei normalen Standardrändern
$$\Sigma=\left[\begin{array}{cc} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{array}\right],\,\, |\Sigma| = 1 - \rho^2$$
und
$$\Sigma^{-1}= \frac{1}{1- \rho^2}\left[\begin{array}{cc} 1 & -\rho \\ -\rho & 1 \end{array}\right], \,\, \Sigma^{-1}-I= \frac{1}{1- \rho^2}\left[\begin{array}{cc} \rho^2 & -\rho \\ -\rho & \rho^2 \end{array}\right]$$
Daher,
$$- \frac{1}{2}\mathbf{x}^{\top}(\Sigma^{-1}-I)\mathbf{x} = \frac{-1}{2(1- \rho^2)}\left[\begin{array}{cc} x_1 & x_2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \rho^2 & -\rho \\ -\rho & \rho^2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} x_1 \\ x_2 \end{array}\right] \\= \frac{-1}{2(1- \rho^2)}\left[\begin{array}{cc} x_1 & x_2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \rho^2x_1 -\rho x_2 \\ -\rho x_1 + \rho^2 x_2 \end{array}\right] \\= -\frac{\rho^2 (x_1^2 +x_2^2)- 2\rho x_1 x_2 }{2(1-\rho^2)},$$
und somit,
$$|\Sigma|^{-\frac{1}{2}}\exp\!\left(-\frac{1}{2}\mathbf{x}^{\top}(\Sigma^{-1}-I)\mathbf{x}\right) = \frac{1}{\sqrt{1- \rho^2}} \exp \left\{-\frac{\rho^2 (x_1^2 +x_2^2)- 2\rho x_1 x_2 }{2(1-\rho^2)} \right\}$$