Bedingte Erwartung der Brownschen Bewegung mittels Projektion

Question

Annehmen, dass $W_s,W_t$ sind Standard Brownsche Bewegungen mit $s<t$. Finde das Folgende$$E[W_s | W_t]=? $$Der Hinweis ist, die Projektionsmethode zu verwenden. Wenn ich das richtig verstehe, haben wir die folgende Eigenschaft durch Projektion$$E[W_sZ]=E[YZ] $$ zum $Y=E[W_s|W_t]$ und $Z$ ist eine Zufallsvariable, die unter derselben Filterung messbar ist, die erzeugt wird $W_t$. Wie kann ich diese Eigenschaft nutzen und fortfahren? Jeder Hinweis wird geschätzt.

PS Ich verstehe die hier angegebene Lösung nicht und würde es vorziehen, die Projektionsmethode zu verwenden (wenn überhaupt möglich).

Answer 1

Die Hauptidee ist, dass wir das erraten werden $Y=\mathbb{E}[W_s | W_t] = \beta W_t$ wo $\beta$ ist eine (nicht zufällige) Konstante, die nur von abhängt $s$ und $t$. Dann sagt uns die Projektionsmethode (Vermieten$Z = W_t$) Das

\begin{align*} \mathbb{E}[W_s W_t] &= \mathbb{E}[Y W_t] \\ &= \beta \mathbb{E}[W_t^2]. \end{align*}

Jetzt wissen wir $\mathbb{E}[W_s W_t] = s$ und $\mathbb{E}[W_t^2]=t$, so vereinfacht sich die Gleichung zu $s = \beta t$ und daher $\beta = \frac st$. Daraus schließen wir$\mathbb{E}[W_s | W_t] = \beta W_t = \frac st W_t$.