Beweis: kein perfektes Quadrat
Lassen $y$sei eine ganze Zahl. Beweise das
$$(2y-1)^2 -4$$
ist kein perfektes Quadrat.
Ich fand diese Frage in einem diskreten Mathematikbuch und versuchte sie zu lösen, indem ich die Frage in zwei Teile teilte:
$$y = 2k , y = 2k + 1$$
Aber das brachte mich nirgendwo hin.
Antworten
Um des Widerspruchs willen schreiben $(2y-1)^2-4=n^2$ wo $n$ist eine ganze Zahl. Gleichwertig$$4=(2y-1-n)(2y-1+n).$$ Der Unterschied zwischen den beiden Faktoren ist $2n$dh sogar. Nur Möglichkeiten zu faktorisieren$4$ mit Faktoren, die sich durch gerade Zahl unterscheiden, sind $(-2)\cdot(-2)$ und $2 \cdot 2$Beide Fälle sind unmöglich, wie sie implizieren $n=0$ und $(2y-1)^2=4$.
ungerade Quadrate sind $1 \pmod 4,$aber es ist spezifischer als das. Seltsame Quadrate sind$1 \pmod 8.$ Sie können dies überprüfen, indem Sie beispielsweise quadrieren: $1,3,5,7$ und finde den Rest, wenn geteilt durch $8$. Insbesondere Quadrate sind nie$5 \pmod 8.$ Ihre $(2y-1)^2 - 4 \equiv 5 \pmod 8$ und kann kein Quadrat sein
Annehmen:
$$(2 y - 1)^2 - 4 = a^2$$
für einige $a$.
Dann
$$(2 y - 1 + 2)(2 y - 1 - 2) = (2 y + 1)(2 y - 3) = a^2$$
Kannst du es von hier nehmen?
Denken Sie an die Primfaktorisierung jeder Seite.
Zum $y\le-1$, $(2y-1)^2-4$ liegt zwischen aufeinanderfolgenden Quadraten $(2y)^2$ und $(2y-1)^2$.
Zum $y\in\{0,1\}$, $(2y-1)^2-4$ ist negativ, also kein Quadrat.
Zum $y\ge2$, $(2y-1)^2-4$ liegt zwischen aufeinanderfolgenden Quadraten $(2y-2)^2$ und $(2y-1)^2$.
$(2y-1)^2-4=4(y^2-y)-3$ Wenn es ein perfektes Quadrat wäre, wäre es $=c^2$, wobei c eine ganze Zahl ist. Lösen für$y$ im $4(y^2-y)-3-c^2=0$ und bekomme $y=\frac{4\pm \sqrt{16+16(3+c^2)}}{8}=\frac{1\pm \sqrt{4+c^2}}{2}$.
jedoch $c^2+4$ kann kein Quadrat sein, es sei denn $c=0$ (wo $y$ist keine ganze Zahl). Annehmen$c^2+4=b^2$ damit $b=c+a$ mit $(c+a)^2=c^2+2ac+a^2$. $2ac+a^2=4$hat keine möglichen ganzzahligen Lösungen. (($a=1$ LHS ist seltsam, $a\gt 1$ LHS $\gt 4$).
Daher keine mögliche Ganzzahl $y$.
$(2y-1)^2 - 4 = (2y-1)^2 - 2^2 = (2y-1+2)(2y-1-2) = (2y+1)(2y-3)$
Beachten Sie, dass $2y+1$ und $2y-3$sind immer verschiedene ganze Zahlen. Der Beweis, dass ihr Produkt kein Quadrat sein kann, wird erreicht, indem gezeigt wird, dass sie Koprime sind (keine gemeinsamen Primfaktoren) und dass sie nicht beide Quadrate gleichzeitig sind.
$\mathrm{gcd}(2y+1, 2y-3) =\mathrm{gcd}(2y+1, (2y+1)-(2y-3)) = \mathrm{gcd}(2y+1, 4) = 1$(Der letzte Teil beobachtet trivial, dass einer ungerade ist, der andere gerade). Daher$2y+1$ und $2y-3$ sind Koprime.
Beachten Sie nun, dass beide $2y+1$ und $2y-3$ sind ungerade mit einem Unterschied von $4$. Die minimale Differenz zwischen zwei ungeraden Quadraten beträgt$3^2 - 1^2 = 8$. Sie können also nicht beide Quadrate sein.
Deshalb $(2y+1)(2y-3) = (2y-1)^2 - 4$ kann kein Quadrat sein.
Ein weiterer Beweis: WLOG annehmen $y>0$. Schauen Sie sich die Unterschiede zwischen dem Quadrat zweier aufeinanderfolgender Zahlen an:$1, 3, 5, 7$, etc .. Daher ist der einzige Weg, um eine Differenz von 4 zu erhalten, 2 ^ 0-0 = 1 + 3, was unmöglich ist, weil $2y-1$ ist ungerade.
Der Unterschied zwischen zwei beliebigen Quadraten $a^2$ und $b^2$ mit $a^2< b^2$ ist mindestens 5 wenn $|b|$ ist mindestens 3.
Sie müssen also nur noch direkt nachsehen $(2y-1)^2 =0,1,4$. Und wie$2y-1$ ist seltsam, nur infact $2y-1=1$.