Den minimalen Eigenwert einer symmetrischen Matrix über Matrixnormen gebunden

Question

Ich lese einen Artikel, in dem die Autoren eine Ungleichung der folgenden Form nachweisen:

$$\lVert H-H'\rVert_2 \leq \lVert H-H'\rVert_F \leq \epsilon \tag 1$$

Hier $H$ und $H'$ sind symmetrische reelle Matrizen ($H'$ hat alle positiven Eigenwerte, wenn das wichtig ist), und die Normen sind die $L_2$Matrixnorm bzw. Frobenius-Norm. Ohne Begründung behaupten die Autoren dann:

$$\lambda_\text{min}(H) \geq \lambda_\text{min}(H') - \epsilon \tag 2$$

wo $\lambda_\text{min}$ ist der minimale Eigenwert einer Matrix.

Ich kann nicht sehen, wie ich das rechtfertigen soll oder ob (2) überhaupt aus (1) abgeleitet werden soll. Hier ist das Papier - das Ende des Beweises von Lemma 3.2, Seite 6.

Answer 1

Diese Antwort basiert auf dieser . Im Folgenden werden wir mit einem beliebigen inneren Produkt arbeiten. Wenn wir die Norm einer Matrix verwenden, bedeutet dies die Operatornorm, die der von uns verwendeten Vektornorm zugeordnet ist. Wir haben:

Satz. Wenn$A$ und $B$ sind dann wirklich symmetrisch:

$$\lambda_\text{min} (A) \geq \lambda_\text{min} (B) - \lVert A-B\rVert$$ $$\lambda_\text{max} (A) \leq \lambda_\text{max} (B) + \lVert A-B\rVert$$

Um dies zu beweisen, ist der Schlüssel der Ausdruck $x^T Mx$, wo $M$ ist eine symmetrische Matrix und $x$hat Einheitsnorm. Wir brauchen zwei Deckspelzen für diesen Ausdruck.

Lemma 1. Für jede Matrix$M$ und jede Einheitsnorm $x$:: $$-\lVert M\rVert \leq x^T Mx\leq \lVert M\rVert$$ Beweis. Einfache Anwendung von Cauchy-Schwartz und der Definition einer Operatornorm:$$|x^TMx|\leq\lVert x\rVert \lVert Mx\rVert\leq \lVert x\rVert^2 \lVert M\rVert=\lVert M\rVert$$

Lemma 2. Für jede symmetrische Matrix$M$ und jede Einheitsnorm $x$:: $$\lambda_\text{min}(M) \leq x^T M x \leq \lambda_\text{max}(M)$$ und die Grenzen werden erreicht als $x$ variiert über die Einheitskugel.

Beweis. Lassen$M=P^TDP$ wo $P$ ist orthogonal und $D$ist diagonal. Dann$$x^TMx = (Px)^TD(Px)$$ Wie $x$ variiert über die Einheitskugel, $Px$ variiert auch über die gesamte Einheitskugel, daher ist der Bereich des letzteren Ausdrucks oben einfach der Bereich von $y^TDy$ wie $y$reicht über die Einheitskugel. Durch die Umordnungsungleichheit und einige andere einfache Argumente wird das Minimum erreicht, wenn$y$ ist ein Eigenvektor, der mit assoziiert ist $\lambda_\text{min}(M)$ und das Maximum wann $y$ ist ein Eigenvektor, der mit assoziiert ist $\lambda_\text{max}(M)$.

Schließlich können wir den Satz beweisen. Für jede Einheitsnorm$x$, wir haben

$$x^TAx = x^TBx + x^T(A-B)x$$

Durch Anwenden von Lemma 1 auf den zweiten Term und Lemma 2 auf den ersten Term beträgt das Minimum der linken Seite mindestens $\lambda_\text{min} (B)-\lVert A-B\rVert$. Durch Lemma 2 wissen wir, dass das Minimum der linken Seite gleich ist$\lambda_\text{min} (A)$. Ein ähnliches Argument zeigt die andere Ungleichung im Satz.