Der Satz der offenen Zuordnung kann fehlschlagen, wenn die Codomäne nicht Banach ist

Aug 16 2020

Geben Sie ein Beispiel für einen Banach-Raum $V$, ein normierter Raum $W$, eine begrenzte lineare surjektive Karte $T: V \to W$ und eine offene Teilmenge $G \subseteq V$ so dass $T(G)$ ist nicht offen in $W$.

Versuch : Überlegen$V= (C([0,1], \Vert \cdot \Vert_\infty), W= (C([0,1], \Vert \cdot \Vert_1)$ und $T: V \to V: f \mapsto f$. Deutlich$T$ ist eine lineare Surjektion mit $$\Vert Tf \Vert_1 = \int_0^1 |f| \le \int_0^1 \Vert f \Vert_\infty = \Vert f \Vert_\infty$$

damit $\Vert T \Vert \leq 1$ und $T$ist begrenzt. Darüber hinaus haben wir$\Vert f \Vert_1 \leq \Vert f \Vert_\infty$.

Das zeigen wir jetzt $G= B_\infty(0,1)$ ist nicht offen für $\Vert \cdot \Vert_1$. Nehmen wir in der Tat das Gegenteil an$0$ ist ein $\Vert \cdot \Vert_1$-Interiorpunkt von $G$. Dann ist da$\epsilon > 0$ so dass

$$B_1(0, \epsilon) \subseteq G = B_\infty(0,1)$$

Also für $f \in C([0,1])\setminus \{0\}$ wir haben $$\Vert \frac{\epsilon}{2 \Vert f \Vert_1} f \Vert_\infty \leq 1$$

Dh $\Vert f \Vert_\infty \leq \frac{2}{\epsilon} \Vert f \Vert_1$ zum $f \in C([0,1])$. Aber dann die Normen$\Vert \cdot \Vert_1$ und $\Vert \cdot \Vert_\infty$ sind äquivalent, was impliziert, dass $W$ist Banach. Dies ist ein Widerspruch.

Frage : Ist mein Versuch richtig?

Antworten

1 supinf Aug 17 2020 at 12:58

Ja, Ihr Versuch ist richtig.

Die Gleichwertigkeit der Normen erfordert beide Ungleichungen, daher wäre es gut, dies zu erwähnen.

Ich denke, es könnte auch verbessert werden, indem erklärt wird, warum $W$ ist kein Banachraum.