Der Satz der offenen Zuordnung kann fehlschlagen, wenn die Codomäne nicht Banach ist
Geben Sie ein Beispiel für einen Banach-Raum $V$, ein normierter Raum $W$, eine begrenzte lineare surjektive Karte $T: V \to W$ und eine offene Teilmenge $G \subseteq V$ so dass $T(G)$ ist nicht offen in $W$.
Versuch : Überlegen$V= (C([0,1], \Vert \cdot \Vert_\infty), W= (C([0,1], \Vert \cdot \Vert_1)$ und $T: V \to V: f \mapsto f$. Deutlich$T$ ist eine lineare Surjektion mit $$\Vert Tf \Vert_1 = \int_0^1 |f| \le \int_0^1 \Vert f \Vert_\infty = \Vert f \Vert_\infty$$
damit $\Vert T \Vert \leq 1$ und $T$ist begrenzt. Darüber hinaus haben wir$\Vert f \Vert_1 \leq \Vert f \Vert_\infty$.
Das zeigen wir jetzt $G= B_\infty(0,1)$ ist nicht offen für $\Vert \cdot \Vert_1$. Nehmen wir in der Tat das Gegenteil an$0$ ist ein $\Vert \cdot \Vert_1$-Interiorpunkt von $G$. Dann ist da$\epsilon > 0$ so dass
$$B_1(0, \epsilon) \subseteq G = B_\infty(0,1)$$
Also für $f \in C([0,1])\setminus \{0\}$ wir haben $$\Vert \frac{\epsilon}{2 \Vert f \Vert_1} f \Vert_\infty \leq 1$$
Dh $\Vert f \Vert_\infty \leq \frac{2}{\epsilon} \Vert f \Vert_1$ zum $f \in C([0,1])$. Aber dann die Normen$\Vert \cdot \Vert_1$ und $\Vert \cdot \Vert_\infty$ sind äquivalent, was impliziert, dass $W$ist Banach. Dies ist ein Widerspruch.
Frage : Ist mein Versuch richtig?
Antworten
Ja, Ihr Versuch ist richtig.
Die Gleichwertigkeit der Normen erfordert beide Ungleichungen, daher wäre es gut, dies zu erwähnen.
Ich denke, es könnte auch verbessert werden, indem erklärt wird, warum $W$ ist kein Banachraum.