Die Eigenschaften der konvexen Funktion im geschlossenen Einheitsintervall $[0,1]$.
Betrachten Sie eine kontinuierliche und konvexe Funktion $F(x):[0,1]\longrightarrow\mathbb{R}$. Ich frage mich, ob
$F(x)$ ist kontinuierlich differenzierbar in $[0,1]$
$F(x)$ ist von begrenzter Variation in $[0,1]$
$F(x)$ ist absolut kontinuierlich in $[0,1]$.
Die zweite ist aufgrund dieses Beitrags richtig. Der Beweis, dass eine konvexe Funktion von begrenzter Variation ist .
Die restlichen zwei wurden mir jedoch rätselhaft. Roydens Kapitel 6 beantwortet sie, wenn wir ein offenes Intervall haben.
Folgerung 17: Lassen Sie $\varphi$ sei eine konvexe Funktion auf $(a,b)$. Dann$\varphi$ ist Lipschitz und daher in jedem geschlossenen, begrenzten Subintervall absolut durchgehend $[c,d]$ und $(a,b)$
Satz 18: Sei $\varphi$ sei eine konvexe Funktion auf $(a,b)$. Dann$\varphi$ ist differenzierbar, außer bei einer zählbaren Anzahl von Punkten.
Nach Satz 18 ist das kaum zu glauben $F(x)$ wird differenzierbar in $[0,1]$. Aber ich kann kein Gegenbeispiel finden. Das heißt, eine konvexe Funktion, die kontinuierlich ist$[0,1]$ ist aber nicht differenzierbar.
Die Folgerung 17 liefert ein ziemlich gutes Ergebnis, scheint aber nicht für das geschlossene Intervall zu gelten. Kann man das sagen, wenn wir haben?$F(x)$ auf $[0,1]$ ist konvex, dann wird es konvex sein $(-\epsilon, 1+\epsilon)$? und dann können wir Korollar 17 verwenden, um zu schließen, dass es absolut kontinuierlich ist$[0,1]\subset (-\epsilon, 1+\epsilon)$.
Vielen Dank!
Antworten
Gegebene reelle Zahlen $a<b$Lassen Sie uns zeigen, dass eine kontinuierliche und konvexe Funktion $F(x):[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}$ist absolut kontinuierlich. Schon seit$F$ ist eine kontinuierliche Funktion auf einem kompakten Satz $[a,b]$ es erreicht irgendwann sein Minimum $c\in [a,b]$. Konvexität von$F$ impliziert, dass $F$ nimmt nicht zu $[a,c]$ und nicht abnehmend auf $[c,b]$. Es reicht also aus, einen Fall zu betrachten, wenn$F$ ist monoton auf $[a,b]$.
Lassen $\varepsilon>0$sei eine beliebige Zahl. Da die Funktion$F$ ist kontinuierlich bei $a$ und $b$, es gibt $0<\delta'<|b-a|$ so dass wenn $x,y\in [a,b]$ und $|x-a|\le\delta’$, $|y-b|\le\delta’$ dann $|F(a)-F(x)|\le\varepsilon/3$ und $|F(b)-F(y)|\le\varepsilon/3$. Die Monotonie von$F$ impliziert das für jede Familie $(x_n,y_n)$ von disjunkten offenen Intervallen enthalten in $[a,a+\delta’]\cup [b-\delta’,b]$ wir haben $\sum |F(y_n)-F(x_n)|\le 2\varepsilon/3$.
Durch Folgerung 17, $F$ ist absolut kontinuierlich auf $(a+\delta’, b-\delta’)$Es gibt also eine reelle Zahl $\delta\le \delta’$ so dass für jede endliche Familie $(x_n,y_n)$ von disjunkten offenen Intervallen enthalten in $(a+\delta’, b-\delta’)$ höchstens der Gesamtlänge $\delta$ wir haben $\sum |F(y_n)-F(x_n)|\le \varepsilon/3$.
Das Obige impliziert leicht, dass jede endliche Familie $(x_n,y_n)$ von disjunkten offenen Intervallen enthalten in $[a, b]$ höchstens der Gesamtlänge $\delta$ wir haben $\sum |F(y_n)-F(x_n)|\le \varepsilon$.