Fourier-Transformation des Coulomb-Potentials in QFT

Dec 01 2020

Ich bin Meisterschüler der Teilchenphysik und möchte Coulomb-Potenzial finden $V(r)$ von $\tilde{V}(p)$in der Schwartz-Quantenfeldtheorie und dem Standardmodell, was ich als habe$\tilde{V}(p)$ ab 16.58 beziehung: $$ \tilde{V}(p)= \frac{e_{R}^{2}}{p_{\mu}p^{\mu}}\tag{16.58} $$ welche $e_{R}$ ist renormiert geladen. Was ich tue, um zu bekommen $V(r)$ ist: $$ V(r)=\int^{\infty}_{-\infty} \frac{d^{4}p}{(2\pi)^4} e^{ip_{\mu}x^{\mu}}\tilde{V}(p)=\int\frac{ d_{0}p d^3p}{(2\pi)^{4}}e^{ip_{0}t-ipxcos\theta}\frac{1}{p_{0}^{2}-p^{2}} $$ und zuerst nehmen $d_{0}p$ auf der oberen Kontur und: $$ \int d_{0}p e^{ip_{0}t}\frac{1}{(p_{0}-p)(p_{0}+p)}=i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p}) $$ so: $$ V(r)=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^{4}}e^{-ipxcos\theta}i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p}) $$ schreiben $d^{3}p=p^{2}dp d\phi dcos(\theta)$ wir haben: $$ V(r)=\int\frac{p^{2}dp d\phi dcos(\theta)}{(2\pi)^{4}}e^{-ipxcos\theta}i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p}) $$ nehmen $dcos(\theta)$ Integral und wir haben: $$ \int^{1}_{-1} e^{-ipxcos(\theta)} dcos(\theta) = \frac{i}{px}(e^{-ipx}-e^{ipx}) $$ zurück zum Integral und schließlich haben wir: $$ V(r)=\int^{\infty}_{0}\frac{p^{2}dp}{(2\pi)^{3}}i \pi (\frac{e^{ipt}}{2p}-\frac{e^{ipt}}{2p})\frac{i}{px}(e^{-ipx}-e^{ipx})=\frac{1}{16\pi^{2}x}(\int^{\infty}_{-\infty} dp e^{ip(x+t)}-\int^{\infty}_{-\infty}dp e^{ip(t-x)}) $$ das ist divergent und es ist nicht $V(r)=\frac{-e_{R}^{2}}{4\pi r}$ Kann mir jemand helfen, wo ich einen Fehler mache und mir den Weg zeigen?

Antworten

2 friciwolf Dec 01 2020 at 22:47

Beachten Sie, dass Sie die Rückwärtstransformation im 3D-Fourier-Raum durchführen müssen - für das Photonenfeld $p^2 = 0$Daher macht Ihr ursprünglicher Ausdruck, von dem Sie ausgehen, wenig Sinn. Abgesehen davon hängt das klassische Coulomb-Feld nicht von der Zeit ab, was ein weiterer Hinweis für die 3D-Transformation ist.

In Schwartz 'Buch geschieht dies in Kap. 3.4.2 (Coulomb-Potential).

Zusammenfassung seiner Ergebnisse:

$$ V(r) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{e_R^2}{p^2} = \int \frac{e^2_R}{(2\pi)^3} e^{-ipr\cos\theta} \sin\theta \, d\theta d\phi dp = \frac{e^2_R}{(2\pi)^2} \frac{1}{ir}\int^\infty_0 dp \frac{e^{ipr}-e^{-ipr}}{p} = \frac{e_R^2}{4\pi r} $$

wo ich im letzten Schritt das bekannte Ergebnis des Dirichlet-Integrals verwendet habe:

$$ \int^\infty_0 \frac{e^{iz}}{z}dz = i \frac{\pi}{2} $$

Hoffe das hilft.