Frage in Milnor&Stacheff - Charakteristische Klassen, Konstruktion von Chern-Klassen
Der folgende Absatz ist dem Buch entnommen:
Wir werden nun eine induktive Definition von charakteristischen Klassen für einen Komplex geben$n$-Flugzeugbündel$\omega=(\pi: E\to M)$. Wenn es zuerst notwendig ist, eine kanonische zu konstruieren$(n-1)$-Flugzeugbündel$\omega_0$über den gelöschten Gesamtraum$E_0$. ($E_0$bezeichnet die Menge aller Nicht-Null-Vektoren in$E$.) Ein Punkt rein$E_0$wird durch eine Faser angegeben$F$von$\omega$zusammen mit einem Vektor ungleich Null$v$in dieser Faser. Nehmen wir zunächst an, dass eine hermitische Metrik angegeben wurde$\omega$. Dann die Faser von$\omega_0$ist per Definition das orthogonale Komplement von$v$im Vektorraum$F$. Dies ist ein komplexer Vektorraum der Dimension$n-1$, und diese Vektorräume können eindeutig als Fasern eines neuen Vektorbündels betrachtet werden$\omega_0$Über$E_0$.
Frage: Ich habe verstanden, wie der Gesamtraum von$\omega_0$ist definiert. Aber wie ist die Topologie des Gesamtraums definiert? Es gibt keine Erwähnung darüber.
Antworten
Betrachten Sie die folgenden Zuordnungen:
$\require{AMScd}$ \begin{CD} \pi^*E @>>> E\\ @V \bar\pi VV @VV \pi V\\ E @>>\pi> M \end{CD}
was ein Pullback-Bündel induziert$\bar \pi : \pi^*E \to E$, wo für jeden$v\in E$,$$\bar\pi^{-1} (v) = \pi^{-1} (\pi(v)).$$(das heißt, die Faser ist nur die Faser$F_x$, wo$x = \pi(v)$).$\pi^*E$erhält die Topologie des Pullback-Bündels. Seit$E_0$ist eine Teilmenge von$E$, die Einschränkung ergibt ein Bündel
$$\tag{1} \bar\pi \big|_{\bar\pi^{-1}(E_0)} : \pi^*E\big|_{\bar\pi^{-1}( E_0)} \to E_0$$
und das Bündel$\omega_0$im Buch konstruiert ist ein Teilbündel von (1). Plus hat die durch (1) gegebene Unterraumtopologie.