Gibt es chaotische Systeme, die selbst an der Grenze unendlicher Präzisionsanfangsbedingungen und unendlicher Ressourcen nicht vorhergesagt werden können?
Ich habe das Verständnis eines Laien für die Theorie des Chaos , was darauf hinzudeuten scheint, dass chaotische Systeme unter Verwendung von Anfangsbedingungen mit endlicher Genauigkeit und endlichen Rechenressourcen nach einer gewissen Zeit nicht vorhergesagt werden können.
Meine Frage ist, was passiert, wenn die Genauigkeit der Anfangsbedingungen und Ressourcen auf unendlich erhöht wird: Bleibt das System chaotisch oder weicht das Vorhersagefenster auch von unendlich ab?
Berücksichtigen Sie insbesondere die folgenden Bedingungen:
Wir haben ein chaotisches System.
Wir berechnen das Vorhersagezeitfenster $t_\text{pred}(e,p,m,s)$ gegeben eine endliche Fehlergrenze $e$für eine endliche Genauigkeit der Anfangsbedingungen $p$und ein Computer mit endlichem Speicher $m$ mit endlicher Geschwindigkeit arbeiten $s$.
Wir berechnen das gleiche Vorhersagezeitfenster $t_\text{pred}(e,p,m,s)$ wenn Präzision, Gedächtnis und Geschwindigkeit zusammen ins Unendliche gehen (aber $e$ bleibt endlich).
Wenn für alle chaotischen Systeme das Zeitfenster gegen unendlich abweicht, lautet die Antwort auf diese Frage nein .
Wenn irgendwo ein System gefunden wird $t_\text{pred}$mag endlich bleiben, dann lautet die Antwort auf diese Frage ja .
Da diese Fragen weit davon entfernt sind, praktisch zu sein, möchte ich eine Motivation hinzufügen: Ich bin der Meinung, dass die Antwort auf diese Frage einen wichtigen Einfluss auf die Theologie hat. Wenn die Antwort ja lautet , würde dies logischerweise die Möglichkeit eines nicht-interventionistischen, allwissenden Gottes (einschließlich der Zukunft) ausschließen, der das Universum mit einem Zweck entworfen hat, da er / sie diese Berechnungen nicht durchführen könnte, selbst wenn er / sie war unendlich mächtig.
Antworten
Eine entscheidende Eigenschaft chaotischer Systeme ist, dass sie deterministisch sind: Das Modell enthält kein Element der Zufälligkeit. Die Anfangsbedingungen bestimmen genau die Zukunft des Systems.
Wenn ich ein chaotisches Modell mit denselben Anfangsbedingungen¹ zweimal auf einem realen Computer simuliere, erhalte ich genau das gleiche Ergebnis. Dies unterscheidet sich nur von der tatsächlichen Lösung für meine Anfangsbedingungen aufgrund der endlichen Genauigkeit der Gleitkomma-Arithmetik (und da das System chaotisch ist, kann dieser Unterschied groß sein) ². Und natürlich habe ich in dem rein hypothetischen Fall, dass ich ein isoliertes reales System simulieren möchte, für das ich ein genaues Modell habe, das Problem, dass ich meine realen Anfangsbedingungen nicht perfekt als Gleitkommazahlen darstellen kann.
Wenn mir willkürliche Präzision und unendliche Rechenressourcen zur Verfügung stehen sowie die Anfangsbedingungen perfekt bekannt sind, kann ich ein chaotisches System perfekt vorhersagen, indem ich es einfach simuliere. Für ein zeitdiskretes System sind die einzigen Gründe, warum ich unendlichen Speicher und Rechengeschwindigkeit benötige, das Speichern und Arbeiten mit Zahlen mit beliebiger Genauigkeit³ (und natürlich, wenn ich unendlich in die Zukunft gehen möchte). Für ein zeitkontinuierliches System gibt es einen weiteren Grund, warum ich eine unendliche Rechengeschwindigkeit benötige, nämlich die numerische Integration mit beliebig feinen Zeitschritten durchzuführen.
¹ und die gleichen Regeln der Gleitkomma-Arithmetik
² Bei einem zeitkontinuierlichen System führt die inhärente Ungenauigkeit der numerischen Integration ebenfalls zu einem Fehler
³ da ich am Ende unendlich viele Ziffern habe