Gibt es wirklich kein Analogon zur abgeleiteten Produktregel für Integrale oder haben wir nur noch keine gefunden?
Für eine Produktregel für Integrale spreche ich nicht von der Integration nach Teilen. Diese bestimmte Formel verwendet ein Integral von Produkten innerhalb der Formel selbst. Die Derivatproduktregel verwendet kein Derivat von Produkten innerhalb der Formel. Ich habe noch nie ein Buch gesehen, das beweist, dass es tatsächlich keine analoge Formel für das Integral eines Produkts gibt. Einige Bücher beweisen, dass es keine Formel für die Wurzeln einer allgemeinen Polynomfunktion 5. Grades oder höher gibt. Kann jemand beweisen, dass es keine solche Formel für das Integral eines Produkts gibt? Es gibt eine Formel für das Integral einer Summe. Vielleicht entdeckt jemand, dass es eine Formel für das Integral eines Produkts gibt. Ich entschuldige mich, wenn mein Begriff der Formel nicht präzise genug ist, aber vielleicht gibt es ein Buch, das genau definiert, was eine Formel ist.
Antworten
Ich dachte, dass es hier schon eine solche Frage gibt, aber ich habe sie nicht gefunden.
Wie die Kommentare sagen, gibt es keine einfache Formel für $\int f g dx$ bezüglich $\int f dx$ und $\int g dx$. Es gibt viele Möglichkeiten, dies zu sehen.
(EIN) $$ \int x\;dx\quad\text{and}\quad \int\frac{1}{x^2}\;dx\quad \text{are rational functions, but}\quad \int\frac{1}{x}\;dx\quad\text{is not} . $$ (B) $$ \int x e^{x^2}\;dx\quad\text{and}\quad \int\frac{1}{x}\;dx\quad \text{are elementary functions, but}\quad\int e^{x^2}\;dx\quad\text{is not} . $$ Sie kommen auf die Idee, was "einfache Formel" bedeutet, dann sollte es ein Beispiel wie dieses geben, das den Begriff "einfache Formel" verwendet.
Wenn wir nach willkürlichen suchen $f(x)$ und $g(x)$gibt es nur 2 kombinierte Derivate, die das Produkt dieser Funktion (und ihre einzelnen Derivate) enthalten: Die Quotientenregel und die Produktregel. Es ist klar, dass wir nicht durch teilen$g^2(x)$Konzentrieren wir uns auf die Produktregel: $$\frac{d}{dx}\left(f(x)g(x)\right) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$
Das (unbestimmte) Integral stellt die Anti-Ableitung einer Funktion dar, die wie folgt beschrieben werden kann: Finden Sie eine Funktion, die differenziert wird $x$ergibt die Funktion innerhalb des Integrals. Wenn ich richtig bin, möchten Sie einen Weg finden, mit dem wir ein Integral der folgenden Form berechnen können:$$\int f(x)g(x)dx$$als Funktion ohne das integrierte Produkt beider Begriffe. Wenn wir uns die Definition der Produktregel ansehen, kann man leider zwei Dinge bemerken: Erstens gibt es zwei Produkte und beide Produkte enthalten beide$f(x)$ und $g(x)$oder ihre Derivate. Daher stecken Sie immer mit folgendem Abzug fest:$$f(x)g(x) = \int f'(x)g(x)dx + \int f(x)g'(x)dx$$ $$f(x)g(x)- \int f(x)g'(x)dx = \int f'(x)g(x)dx$$ Dies entspricht der Regel der Integration nach Teilen und entfernt nicht das Integral des Produkts in seiner Gleichung.