Hyperconcise Math B5: Transformationen

Die Inverse einer Funktion (f(x)) ist die Beziehung, die durch Vertauschen der Ein- und Ausgänge gebildet wird. In einem Diagramm spiegelt diese Änderung die Funktion über der Linie f(x) = x wider (x und y sind beliebige Zahlen). Zum Beispiel,

Eine Umkehrung einer Funktion, die auch eine Funktion ist, wird als f ⁻¹(x) dargestellt (die −1 ist kein Exponent , aber die 2 in f²(x) = (f(x))² ≠ f(x²) ist es , und f⁽²⁾(x) steht für etwas ganz anderes – habe ich schon erwähnt, dass herkömmliche Notation scheiße ist?) Funktionen, die nicht eins zu eins sind, können in mehrere Funktionen (Zweige) unterteilt werden, die eins zu eins sind (wie x², wenn x ≥ 0 und x² wenn x < 0), so dass die Umkehrung jedes Zweigs eine Funktion ist.

Um eine Funktion (g(x)) auf alle x-Werte in y = f(x) anzuwenden, während die y-Werte unverändert bleiben, isolieren Sie x und wenden g(x) auf eine Seite an: x = f ⁻¹(y) → x = g(f ⁻¹(y)) → y = f(g ⁻¹(x))

Beispielsweise können einige Funktionen als Transformationen einfacherer Funktionen angesehen werden:

Das Ändern der Variablen in einem Problem bringt oft neue Erkenntnisse, indem man Transformationen (z = g(x), y = f(g ⁻¹(z))) verwendet oder mit einfacheren Gleichungen arbeitet, ohne die ursprünglichen Werte zu ändern. Zum Beispiel, wenn z = y/x und w = y − 5⦁x, y⦁x² − 5⦁x³ = y²⦁x² + x² kann geschrieben werden als w = z² + 1 (wende /x² an und ersetze), analysiert mit relativ einfach, dann wieder zurück geändert. (Aus den Gleichungen für w und z, y = z⦁x und y = w + 5⦁x → x = w/(z − 5) und y = w + 5⦁w/( z − 5).)