Interpretation eines bestimmten allgemeinen Satzes, den Gauß in seiner Arbeit über Theta-Funktionen verwendet.
Ich versuche, die Bedeutung eines allgemeinen Satzes zu verstehen, den Gauß in einem posthomösen Artikel (dieser Artikel befindet sich in S. 470-481 von Band 3 von Gauß 'Werk) über Theta-Funktionen angegeben hat, ein Satz, der als Leitfaden zu dienen scheint Organisationsprinzip der Vielzahl von Beziehungen zwischen Theta-Funktionen, die er gefunden hat.
Gaußsche Notation und Definitionen
Bezeichnen mit $P(x,y),Q(x,y),R(x,y)$ die folgenden Funktionen:
$$P(x,y)=1+x(y+\frac{1}{y})+x^4(y^2+\frac{1}{y^2})+x^9(y^3+\frac{1}{y^3})+...$$ $$Q(x,y)= 1-x(y+\frac{1}{y})+x^4(y^2+\frac{1}{y^2})-x^9(y^3+\frac{1}{y^3})+...$$ $$R(x,y)=x^{\frac{1}{4}}(y^{\frac{1}{2}}+y^{-\frac{1}{2}})+x^{\frac{9}{4}}(y^{\frac{3}{2}}+y^{-\frac{3}{2}})+x^{\frac{25}{4}}(y^{\frac{5}{2}}+y^{-\frac{5}{2}})+...$$
Diese Funktionen umfassen Jacobi-Theta-Funktionen in ihrer üblichen Bedeutung als Sonderfälle; wenn$y$ ist eine komplexe Zahl, deren absoluter Wert ist $1$, und $z$ ist definiert als eine reelle Zahl, so dass $y = e^{2iz}$, dann haben wir:
$$P(x,y)=1+2cos(2z)x+2cos(4z)x^4+2cos(6z)x^9+...=\vartheta_3(z,x)$$
was aus der Identität folgt $cos(2nz)= \frac{e^{2inz}+e^{-2inz}}{2}$. Insbesondere haben wir:
$$P(x,1)=1+2x+2x^4+2x^9+...=\vartheta_3(0,x)$$So kann man verstehen $P(x,y),Q(x,y),R(x,y)$ als Verallgemeinerung der Jacobi-Theta-Funktion $\vartheta(z,x)$ von rein real $z$ zu einem Komplex $z$ (Nicht-Null-Imaginärteil von z), so dass $|y| \ne 1$.
Bemerkung: Ich bin mit Jacobis Veröffentlichungen nicht sehr vertraut, daher ist es durchaus möglich, dass Jacobis ursprüngliche Definition seiner Theta-Funktionen auch den Fall umfasst, in dem$z$ ist komplex, also Gaußsche Funktionen $P(x,y),Q(x,y),R(x,y)$ sind nichts anderes als einfach Jacobis Theta-Funktionen mit unterschiedlicher Notation.
Gaußscher Satz
Am 6. August 1827 stellte Gauß den folgenden "allgemeinen Satz" fest:
$$P(x,ty)\cdot P(x,\frac{y}{t}) = P(x^2,t^2)P(x^2,y^2) + R(x^2,t^2)R(x^2,y^2) $$
und leitet dann eine Vielzahl von Beziehungen daraus ab.
Weitere Informationen zu dieser Frage finden Sie in der Antwort auf den Beitrag zum HSM-Stapelaustausch https://hsm.stackexchange.com/questions/6256/did-gauss-know-jacobis-four-squares-theorem.
Daher möchte ich wissen, wie man den von Gauß angegebenen allgemeinen Satz interpretiert.
Antworten
Die Definition der Gauß-Theta-Funktionen kann wie folgt geschrieben werden
$$ P(x,y) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} x^{n^2}y^n,\;\; R(x,y) = \sum_{n\in\mathbb{Z}+\frac12} x^{n^2}y^n. \tag{1} $$
Betrachten Sie nun das Produkt zweier Theta-Funktionen
$$ S := P(x,ty)\cdot P(x,y/t) = \left(\sum_{n\in\mathbb{Z}} x^{n^2}(ty)^n\right) \! \left(\sum_{m\in\mathbb{Z}} x^{m^2}(y/t)^m\right). \tag{2} $$
Dies kann als doppelte Summe umgeschrieben werden
$$ S = \sum_{n,m\in\mathbb{Z}} x^{n^2+m^2} y^{n+m}t^{n-m}. \tag{3} $$
Schreiben Sie dies mit neuen Variablen um
$$ j = \frac{n+m}2,\;\; k = \frac{n-m}2 \;\; \text{ where } \;\; n = j+k,\;\; m = j-k \tag{4} $$
zu bekommen
$$ S = \sum_{n,m\in\mathbb{Z}} x^{2(j^2+k^2)} y^{2j}t^{2k}. \tag{5} $$
Die doppelte Summe $\,S\,$teilt sich in zwei Fälle. Eins ist$\,S_0\,$ wo $\,n,m\,$ habe die gleiche Parität mit $\,j,k\in\mathbb{Z}.\,$ Der Andere ist $\,S_1\,$ wo $\,n,m\,$ haben unterschiedliche Parität mit $\,j,k\in\mathbb{Z}+\frac12.\,$ Schreiben Sie die Summen als Produkte um
$$ S_0 = \sum_{j,k\in\mathbb{Z}} (x^2)^{k^2}(t^2)^k \cdot (x^2)^{j^2}(y^2)^j = P(x^2,t^2)P(x^2,y^2) \tag{6} $$
und
$$ S_1 = \sum_{j,k\in\mathbb{Z}+\frac12} (x^2)^{k^2}(t^2)^k \cdot (x^2)^{j^2}(y^2)^j = R(x^2,t^2)R(x^2,y^2). \tag{7} $$
Das Endergebnis ist
$$ S = S_0+S_1 = P(x^2,t^2)P(x^2,y^2) + R(x^2,t^2)R(x^2,y^2). \tag{8} $$
Ich denke, dass dies dem ursprünglichen Beweis von Gauß ähnlich ist, aber ich habe keine Möglichkeit, das zu wissen. Dieser Ansatz muss sehr alt sein.
Verwenden wir die Variablen $q, z$ mit $q=x, y=e^{2iz}$ so dass $$P(x, y) =\vartheta_3(z,q),Q(x,y)=\vartheta_4(z,q),R(x,y)=\vartheta_2(z,q)$$ und wir können nun den allgemeinen Satz von Gauß als transkribieren $$\vartheta_3(z+w,q)\vartheta_3(z-w,q)=\vartheta_3(2z,q^2)\vartheta_3(2w,q^2)+\vartheta_2(2z,q^2)\vartheta_2(2w,q^2)$$ (mit $t=e^{2iw}$) als Identität zwischen Jacobi-Theta-Funktionen.
Dies ist eine der grundlegendsten Identitäten zwischen Theta-Funktionen, und fast alle algebraischen Beziehungen zwischen Theta-Funktionen können damit abgeleitet werden. In diesem Artikel von arXiv finden Sie einige Identitäten, die über diesen allgemeinen Satz von Gauß abgeleitet wurden
Der Beweis dafür kann erbracht werden, indem das Verhältnis von linker und rechter Seite berücksichtigt wird und gezeigt wird, dass es sich um eine doppelt periodische Funktion ohne Pole handelt. Und damit ist eine Konstante. Es erfordert einige Anstrengungen, um zu zeigen, dass die Konstante ist$1$ kann aber mit einigen algebraischen Manipulationen an der diesen Funktionen entsprechenden Reihe mit gezeigt werden $z=0,w=0$.
Im Moment habe ich keinen direkten algebraischen Beweis für die obige Identität und muss Jacobi Fundamenta Nova überprüfen, um festzustellen , ob Jacobi einen solchen Beweis erbracht hat. Wie Sie in Ihrer Frage bemerkt haben, sind Jacobi Theta-Funktionen für alle Komplexe definiert$z, q$ mit $|q|<1$.