Kann es sein, dass$2^{2A}+2^{2B}$ist eine Quadratzahl?
Seien A und B zwei positive ganze Zahlen größer als$0$. Kann es sein, dass$2^{2A}+2^{2B}$ist eine Quadratzahl?
Ich habe Probleme mit dieser Übung, weil ich das Gefühl habe, dass die Antwort nein ist, aber ich kann den Beweis nicht näher ausführen. Bisher dachte ich, dass es eine ganze Zahl gibt$C>0$so dass$2^{2A}+2^{2B}=C^2$. Dann$$(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$$Ich habe versucht zu sehen, ob der vorherige Ausdruck einen Widerspruch enthalten könnte, aber ich bin stecken geblieben. Alles, was ich finden konnte, ist das$C$muss eine gerade Zahl sein, aber das scheint mich nicht weiterzubringen. Ich würde mich über jede Hilfe freuen.
Danke im Voraus!
Antworten
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit, lassen Sie$A>B$. Dann$2^{2A}+2^{2B}=2^{2B}(2^{2A-2B}+1)$ist ein Quadrat impliziert$2^{2A-2B}+1$ist ein Quadrat wie$2^{2B}$ist ein Quadrat. Aber das ist seitdem unmöglich$2^{2A-2B}$ist ein Quadrat.
Shubhrajit Bhattacharyas Antwort liefert dafür einen einfachen, direkten Beweis$2^{2A}+2^{2B}$kann kein Quadrat sein. Aber nur zum Spaß, lassen Sie uns den Ansatz des OP beenden (von dem ich anfangs dachte, dass es zu einer Sackgasse führte).
Wenn$(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$, dann$(2^A+2^B+C)(2^A+2^B-C)=2^{A+B+1}$, was bedeutet, dass$2^A+2^B+C$und$2^A+2^B-C$sind beide Potenzen von$2$, und offensichtlich unterschiedliche Potenzen von$2$, sagen$2^a$und$2^b$mit$a\gt b$und$a+b=A+B+1$. Aber das impliziert
$$2(2^A+2^B)=2^a+2^b$$
Nehmen wir nun ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass$A\ge B$, wir haben
$$2^{B+1}(2^{A-B}+1)=2^b(2^{a-b}+1)$$
Jetzt$a\gt b$impliziert$2^{a-b}+1$ist eine ungerade Zahl größer als$1$, woraus folgt, dass wir haben müssen$A\gt B$(Andernfalls ist die linke Seite eine Potenz von$2$, kein Vielfaches einer ungeraden Zahl größer als$1$). Dies impliziert wiederum$b=B+1$und$a-b=A-B$, von dem wir bekommen
$$a+b=(a-b)+2b=(A-B)+2(B+1)=A+B+2$$
im Widerspruch zu$a+b=A+B+1$.
Anmerkung: Ich war ein wenig überrascht von der Art des Widerspruchs hier und musste meine Arbeit sorgfältig überprüfen, um sicherzustellen, dass ich keinen dummen Rechenfehler gemacht habe.
Mach es einfach.
Nehmen Sie ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass$A \le B$Also
$2^{2A} + 2^{2B}=$
$2^{2A} (1 + 2^{2B-2A})=$
$(2^A)^2 [1 + 2^{2B-2A}]=$
$(2^A)^2 [(2^{B-A})^2 + 1]$.
Wenn das also ein perfektes Quadrat ist, dann müssen wir es haben$(2^{B-A})^2 + 1$ein perfektes Quadrat sein.
Aber$(2^{B-A})^2$ist ein perfektes Quadrat, also haben wir zwei aufeinanderfolgende perfekte Quadrate. Es sollte leicht sein, sich selbst davon zu überzeugen, dass das einzige Mal, das jemals auftritt, ist$0^2$und$1^2$. (Beweis als Nachtrag).
Das kann also nur passieren, wenn$(2^{B-A})^2 = 0$und$(2^{B-A})^2 + 1=1$.
Aber$2^{B-A} = 0$Ist nicht möglich.
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Nachtrag: Dann sind es nur noch zwei aufeinanderfolgende Quadrate$0$und$1$.
Beweis: Angenommen$m^2 = n^2 + 1$. wo$m,n$sind nicht negative ganze Zahlen.$n^2 < m^2 = n^2 + 1 \le n^2 + 2n + 1= (n+1)^2$Also$n < m \le m+1$. Aber die einzigen ganzen Zahlen dazwischen$n$(exklusiv) und$n+1$(inklusive) ist$n+1$Also$m = n+1$. Und so$n^2 + 1 = m^2 = (n+1) = n^2 + 2n + 1$Also$2n = 0$und$n = 0$und$m =1$.
Annehmen, dass$2^{2A}+2^{2B}$ist ein perfektes Quadrat. Nehmen Sie ohne Verlust der Allgemeinheit an$A \geqslant B$. Dann lass$A-B=x$, wo$x$ist eine nicht negative ganze Zahl. Daraus folgt, dass wir haben:$$2^{2A}+2^{2B}=(2^B)^2 \cdot (2^{2x}+1)$$Wenn nun die linke Seite ein perfektes Quadrat ist, dann muss auch die rechte Seite ein perfektes Quadrat sein. Es folgt dem$2^{2x}+1$ist ein perfektes Quadrat. Lass das sein$n^2$. Wir haben dann:$$2^{2x}=n^2-1=(n-1)(n+1)$$Jetzt brauchen wir$n-1$und$n+1$um beide vollkommene Kräfte von zu sein$2$. Dies kann nur für geschehen$n=3$. Aber selbst dann hätten wir nur$2^{2x}=8$was unmöglich ist$x$ist eine ganze Zahl. Somit existieren keine Lösungen.
Wir würden haben$k^2=4^{A}+4^{B}\equiv 1+1= 2\pmod 3$, unmöglich wie$k^2 \equiv 0,1 \pmod 3$.