Konvergenz in der Verteilung $(u_n,\varphi_n) \to (u,\varphi)$

Question

Definieren Sie eine Verteilungssequenz $u_n$.

Lassen $u_n\to u$ im $D'(X)$ und nehmen wir an, wir haben eine Sequenz $\varphi_n\in C^\infty_c(X)$ so dass $\varphi_n\to \varphi $ im $C_c^\infty(X)$.

Können wir zeigen $$(u_n,\varphi_n) \to (u,\varphi)$$

Ich weiß, wir können zeigen $(u_n,\phi) \to (u,\phi)$ für jeden $\phi\in C_c^\infty(X)$,und $(u_n,\varphi_j) \to (u_n,\varphi)$ für jede $n$Wie kombiniert man sie zusammen?

$$\lim_k\lim_n (u_n,\varphi_k) = (u,\varphi)$$

Aber nicht genau zwei gleiche Variablen?

Answer 1

Ich nehme das an $X$ ist eine offene Teilmenge von $\mathbb{R}^n$. Für jede kompakte Teilmenge$K$ von $X$, Lassen $C_K^{\infty}(X)$ bezeichnen den Frechet-Raum von allen $f \in C_c^{\infty}(X)$ so dass $\text{supp}(f) \subset K$.

Ein nicht trivialer Satz über die Konvergenz in der strengen induktiven Grenzwerttopologie von $C_c^{\infty}(X)$ impliziert, dass es geben muss $n_0 \geq1$ und eine kompakte Teilmenge $K \subset X$ so dass jeder $\varphi_n$ mit $n \geq n_0$ und $\varphi$ selbst gehören zu $C_{K}^{\infty}(X)$ und das $\varphi_n \rightarrow \varphi$in diesem Raum. Die Restriktionskarte$C_{c}^{\infty}(X)^{\ast} \rightarrow C_K^{\infty}(X)^{\ast}$ ist kontinuierlich für die Topologien mit schwachen Sternen und damit für die Folge von eingeschränkten Verteilungen $u_n|_{C_K^{\infty}}$ konvergiert zur eingeschränkten Verteilung $u|_{C_K^{\infty}}$ in der schwachen Sterntopologie auf $C_K^{\infty}(X)^{\ast}$.

Wir haben unser Problem darauf reduziert, dies in jedem Frechet-Raum zu beweisen $V$für jede konvergente Folge von Vektoren $\varphi_n \rightarrow \varphi$ und Konvergenzsequenz schwacher Sterne kontinuierlicher linearer Funktionale $\ell_n \rightarrow \ell$, wir haben $\ell_n(\varphi_n) \rightarrow \ell(\varphi)$ im $\mathbb{C}$, wie $n \rightarrow \infty$.

Durch eine weitere einfache Reduzierung genügt es, dies im vorliegenden Fall zu beweisen $\varphi=0$ und $\ell = 0$.

Dies folgt wiederum aus dem in dieser Antwort erläuterten Prinzip der einheitlichen Begrenztheit in Frechet-Räumen . Dieser Satz impliziert, dass die Familie$\{\ell_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ ist automatisch gleich kontinuierlich, was bedeutet, dass bei gegebener $\varepsilon >0$, es gibt $U \subset X$ öffnen, $0\in U$, so dass für alle $(n,v) \in \mathbb{N} \times U$ wir haben $|\ell_n(v)| < \varepsilon$. So gegeben$\varepsilon$, wählen Sie zuerst solche $U$ und dann nehmen $n$ ausreichend groß, so dass $\varphi_n \in U$.