Konzepte für Startoptionen weiterleiten

Dec 14 2020

Erwägen $t_0<t<T$mit $t_0=0$ (heutiges Datum) und die Standardauszahlung einer Vanille-Forward-Start-Call-Option,

$F_{t,T} = (S_T - S_t\cdot K)^+$mit Streik $K$.

Wenn der Preis dieser Option heute bei angegeben ist $t_0$Dann können wir auf eine Art von Black-Scholes-impliziter Volatilität schließen $\sigma_{imp}(t_0, K, t, T)$ für die der entsprechende BS-Preis mit dem Marktpreis übereinstimmt (at $t_0$).

Bezeichnen Sie nun die BS-implizite Volatilität zum Zeitpunkt $t$ einer Call-Option mit der oben genannten Auszahlung von $\hat{\sigma}(t,T,K,S_t)$. Offensichtlich vom Standpunkt von$t_0$ Dies ist nicht bekannt, da der Markt für das Datum notiert $t$ existieren noch nicht.

Meine Frage ist wie geht $\sigma_{imp}(t_0, K, t, T)$ beziehen sich auf das Unbekannte $\hat{\sigma}_{imp}(t,T,K,S_t(\omega)$? Ist der erste nur ein Stellvertreter des zweiten?

Ich bin mir bewusst, dass die Antwort offensichtlich sein könnte, aber ich versuche mich selbst zu überzeugen und die Konzepte in der Bibliographie besser zu verstehen. Alle Referenzen / leicht zu lesenden Artikel, die all das klarstellen, sind willkommen.

Antworten

2 StackG Dec 14 2020 at 17:01

Forward-Start-Optionen sind sehr interessante Wertpapiere, über die Sie im Internet viel erfahren können. Es stellt sich heraus, dass es in Black-Scholes eine explizite Preisformel für sie gibt. Die schönste Ableitung, die ich finden kann, finden Sie in diesem Artikel - die Preisformel lautet:

Was die implizite Forward-Volatilität betrifft, so gibt es einige Möglichkeiten, sie zu definieren. In der einfachen BS ist die Volatilität zu jeder Zeit deterministisch, so dass das implizite Volumen vorwärts genau das gleiche ist wie das implizite Volumen jetzt. Interessanter wird es jedoch bei lokalen Vol-Modellen (die als Verallgemeinerung von BS angesehen werden können). In diesem Fall ergeben deterministische Vol-Modelle und stochastische Vol-Modelle SEHR unterschiedliche Vorwärts-Vol-Oberflächen - ich habe ein wenig darüber geschrieben (mit Grafiken und Code) in einer anderen Antwort .

Falls es von Interesse ist, stellt sich heraus, dass wir selbst im stochastischen Heston-Vol-Modell eine semi-analytische Formel für diese Optionen finden können, zum Beispiel die hier angegebene ...

Wenn Sie selbst experimentieren möchten, stehen sowohl im Local Vol-Fall als auch im Heston-Fall über QuantLib analytische (und auch Monte-Carlo-) Preis-Engines zur Verfügung.