L-Tromino-Paar!

Question

Amy spielt mit verschiedenen Polyominoes. Sie denkt plötzlich an ein Problem wie folgt.

Wählen Sie zwei positive ganze Zahlen $m,n$. Wenn wir nur verwenden können , L-trominos zu tessellate ein$m\times n$ Rechteck ohne Lücken, Überlappungen oder ein Quadrat, das aus den Rechtecken heraushängt, dann nennen wir das Paar $(m,n)$ L-Tromino-Paar.

Sie ruft ihren Bruder Ben und den Geist an und versucht, alle L-Tromino-Paare herauszufinden. Der Geist ist super schlau und hat alle mit einem Beweis gefunden. Können Sie?

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Problem von mir.

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Hier ist ein Bild von L-Tromino, wenn Sie es sehen möchten:

Answer 1

Offensichtlich müssen beide Dimensionen eines kachelbaren Rechtecks ​​mindestens sein $2$. Auch da ist die Fläche eines Tromino$3$ist die Fläche eines kachelbaren Rechtecks ​​ein Vielfaches von $3$und daher ist mindestens eine der Dimensionen ein Vielfaches von 3.

Zunächst einige einfache Fälle:

$3k\times2n$: Zwei Trominoes bilden a $3\times2$Rechteck. Daher keine$3k\times2n$ Rechteck ist trivial kachelbar.

$6k\times(2n+3)$: Dieses Rechteck teilt sich in a $6k\times3$ und ein $6k\times2n$ Rechteck, die beide Beispiele für den oben trivial kachelbaren Fall sind.

Der schwierigste Fall ist folgender:

Die obigen Fälle betreffen alle Rechtecke, bei denen eine der Dimensionen gerade ist. Es bleiben also nur noch solche mit ungeraden Abmessungen.

$9\times5$: Dieses Rechteck kann gekachelt werden:

$(6k+9) \times (2n+5)$: Jedes Rechteck mit ungeraden Abmessungen, einer Abmessung ein Vielfaches von 3 und nicht kleiner als $9\times5$kann gekachelt werden. Sie können ein Rechteck von Größe abkalben$6k\times(2n+5)$ was sich bereits als kachelbar erwiesen hat, um es auf zu reduzieren $9\times(2n+5)$. Sie können dann ein kachelbares Rechteck mit einer Größe abkalben$9\times2n$und ließ die Fliesen $9\times5$.

Jetzt muss nur noch gezeigt werden, dass$3\times(2n+1)$ist nicht kachelbar. Dies ist ziemlich offensichtlich, wenn Sie es versuchen. Die einzige Möglichkeit, die kurze Kante des Rechtecks ​​zu füllen, besteht darin, eine$3\times2$Block. Daher wird das Rechteck unvermeidlich auf das Ackerbare reduziert$3\times1$gestalten.

Zusammenfassend sind die L-Tromino-Paare$(m,n)$ wo $m,n\ge2$, mindestens einer von $m$ oder $n$ ist durch 3 teilbar, und wenn beide ungerade sind, dann $m,n\ge5$.