Laplace-Transformation: Nullen und entsprechende Impulsantwort $h(t)$
Pole und die Impulsantwort
Wenn unsere Impulsantwort in der Form ist:
$$h(t) = e^{-\sigma_0 t}\cos(\omega_0 t) \, u(t)$$
(wo $u(t)$ ist die Einheitsschrittfunktion)
Und seine Laplace-Transformation ist:
$$H(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = \int_{0}^{+\infty} h(t)e^{-st}dt$$ $$s = \sigma + j\omega$$
Pole sind Werte von $s$ damit $$D(s) = 0 \rightarrow H(s) = +\infty $$ Aber um dies zu verstehen , schaue ich lieber auf das Integral: Es wird bis ins Unendliche (Pole) gehen, wenn$s$ spiegelt Komponenten von $h(t)$. In gewisser Weise$e^{-st}$ "Sonden" $h(t)$. Tatsächlich :
Eine einzelne echte Stange ($s = -\sigma_0$) meint $h(t) = e^{-\sigma_0t}u(t)$ da : $$\int_{0}^{+\infty} e^{-\sigma_0t}e^{-(-\sigma_0)t}dt = \int_{0}^{+\infty} 1dt = +\infty $$.
Komplexe konjugierte Pole ($s = -\sigma_0 \pm j\omega_0$) bedeuten $h(t)$ ist eine exponentiell abfallende Sinuskurve (sagen wir $h(t) = e^{-\sigma_0t}\cos(\omega_0t)$) da : $$\int_{0}^{+\infty} e^{-\sigma_0t}\cos(\omega_0t)e^{-(-\sigma_0)t}e^{-j\omega t}dt = \int_{0}^{+\infty}\cos(\omega_0t)e^{-j\omega t}dt $$ das ist unendlich bei $\omega = \pm\omega_0$ (Fourier-Transformation von $h(t)$ ohne seine exponentielle Komponente, die eine Sinuskurve ist).
Komplexe konjugierte Pole mit $\sigma = 0$ (($s = \pm j\omega_0$) bedeuten $h(t)$ hat keine abklingende Komponente (sagen wir $h(t) = \cos(\omega_0t) u(t)$) da : $$\int_{0}^{+\infty} \cos(\omega_0t)e^{-j\omega t}dt$$ das ist unendlich bei $\omega = \pm\omega_0$ (Fourier-Transformation von $h(t)$ das ist eine Sinuskurve).
Nullen: ein Dirac in der Impulsantwort?
Nun schauen wir uns an $H(s)$für einen Notch-Filter, wie in Kapitel 32, Seite 17 von " The Scientist and Engineer's Guide to DSP " gezeigt, und prüfen Sie, ob ähnliche Überlegungen zu den Integralen möglich sind.

Verwenden wir den folgenden Filter (Abbildung oben nur zur Veranschaulichung, ich verwende hier verschiedene Pole und Nullen):
$$H(s) = \frac{s^2+1}{(s-(-1+i))(s-(-1-i))}$$
Dieser Filter hat 2 Pole und 2 Nullen:
- Nullen: $z_1,z_2 =\pm i$
- Stangen : $p_1,p_2 =-1 \pm i$
Lass uns finden $h(t)$ und sehen, warum das Integral tatsächlich auf 0 oder gehen würde $+\infty$ für diese Werte von Nullen bzw. Polen.
Wenn es sinnvoll ist, gibt dieses Tool die folgende inverse Laplace-Transformation für$H(s)$ ::
$$h(t) = \delta(t) - 2e^{-t}\cos(t) u(t) + e^{-t}\sin(t) u(t)$$
Polen: für $s=p_1$ oder $p_2$ In der Laplace-Transformation werden die Exponentiale von h (t) aufgehoben und bleiben die Fourier-Transformation einer Sinuskurve, die bei tatsächlich unendlich ist $\omega = \pm 1$ (Ich diskutiere nicht die $\delta(t)$ aber ich nehme an, es wird dieses Ergebnis nicht ändern).
Nullen: für $s=z_1$ oder $z_2$ In der Laplace-Transformation ist das Ergebnis 0, wenn Realteil und Imaginär der Laplace-Transformation 0 sind. Realteil ist:
$$\int_{0}^{+\infty} (\delta(t) - 2e^{-t}\cos(t)+e^{-t}\sin(t))\cos(t)dt$$
$$=\int_{0}^{+\infty} \delta(t)\cos(t)dt + \int_{0}^{+\infty} (- 2e^{-t}\cos(t)+e^{-t}\sin(t))\cos(t)dt$$
mit
$$\int_{0}^{+\infty} (- 2e^{-t}\cos(t)+e^{-t}\sin(t))\cos(t)dt = -1$$
Imaginärteil ist:
$$\int_{0}^{+\infty} \delta(t)\sin(t)dt + \int_{0}^{+\infty} (- 2e^{-t}\cos(t)+e^{-t}\sin(t))\sin(t)dt$$
mit
$$\int_{0}^{+\infty} (- 2e^{-t}\cos(t)+e^{-t}\sin(t))\sin(t)dt = 0$$
Fragen
- Wenn die inverse Laplace-Transformation korrekt ist, wie geht man damit um? $\int_{0}^{+\infty} \delta(t)\cos(t)dt$ und $\int_{0}^{+\infty} \delta(t)\sin(t)dt$ zu zeigen, dass $H(s)$ ist in der Tat 0 bei $z_1$ und $z_2$ ?
- Wenn all dies richtig ist, was bedeutet es (physikalisch) für eine Impulsantwort, einen Dirac in ihrem Ausdruck zu haben? Ich dachte, die Impulsantwort der meisten physikalischen Systeme sei nur eine Kombination aus abklingenden Exponentialen und Sinuskurven.
Antworten
Für Ihre erste Frage können Sie Folgendes verwenden
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \delta (t-a)\,f(t)\,dt = f(a), $$
mit $f(t)$jede Funktion. In Ihrem Fall würden diese Integrale somit die Werte Eins bzw. Null ergeben.
Für Ihre zweite Frage werde ich nur lineare zeitinvariante Systeme betrachten. In diesem Fall kann die Impulsantwort eines solchen Systems nur dann eine Dirac-Delta-Funktion enthalten, wenn die Übertragungsfunktion dieses Systems einen Zähler in der gleichen Größenordnung wie der Nenner hat. Nämlich jede Übertragungsfunktion des Formulars
$$ G(s) = \frac{b_n\,s^n + b_{n-1}\,s^{n-1} + \cdots + b_1\,s + b_0}{s^n + a_{n-1}\,s^{n-1} + \cdots + a_1\,s + a_0}, $$
mit $b_n \neq 0$ kann auch geschrieben werden als
$$ G(s) = b_n + \frac{b'_{n-1}\,s^{n-1} + \cdots + b'_1\,s + b'_0}{s^n + a_{n-1}\,s^{n-1} + \cdots + a_1\,s + a_0}, $$
mit $b'_k = b_k - b_n\,a_k$. Die inverse Laplace-Transformation der Konstante$b_n$würde einen Dirac-Delta-Term beitragen. Für den verbleibenden Teil der Übertragungsfunktion könnte man eine Teilfraktionsexpansion verwenden, um zu zeigen, dass sie keinen Dirac-Delta-Term beitragen kann.
Wenn ein physikalisches System einen Zähler in der gleichen Größenordnung wie der Nenner hätte, müsste die Ausgabe des Systems direkt von der Eingabe beeinflusst werden. Ein Beispiel für ein solches physikalisches System könnte ein Elektromotor sein, bei dem Sie eine Spannung eingeben und die Winkelposition mit einem Spannungsverlust vom Eingangssignal zum Ausgang messen. Die meisten physikalischen Systeme haben jedoch einen Zähler niedrigerer Ordnung als Nenner. Es ist wahrscheinlicher, dass Sie in digitalen Filtern auf Zähler und Nenner gleicher Ordnung stoßen (dies wären jedoch Z-Domänen und nicht S-Domänen, aber ungefähr das gleiche Argument) wie Notch-Filter. Diese Filter werden jedoch häufig in Reihe mit physikalischen Systemen verwendet, so dass ihre kombinierte Übertragungsfunktion auch einen Zähler niedrigerer Ordnung haben würde.
Wenn die zu transformierende Funktion einen Impuls bei hat $t=0$wird die einseitige Laplace-Transformation allgemein definiert als
$$H(s)=\int_{0^-}^{\infty}h(t)e^{-st}dt\tag{1}$$
(Beachten Sie die untere Integrationsgrenze $0^-$). Die bilaterale Laplace-Transformation hat dieses Problem sowieso nicht.
Die Konsequenz dieser Definition ist, dass die Integrale in Ihrer Ableitung werden
$$\int_{0^{-}}^{\infty}\delta(t)\cos(t)dt=\cos(0)=1$$
und
$$\int_{0^{-}}^{\infty}\delta(t)\sin(t)dt=\sin(0)=0$$
das gibt das erwartete Ergebnis.
Impulsantworten, die einen Dirac-Impuls enthalten, sind nichts Besonderes. Ein einfacher (idealer) Verstärker oder Abschwächer mit Eingangs-Ausgangs-Beziehung$y(t)=\alpha x(t)$hat einen (skalierten) Dirac-Impuls als Impulsantwort. Beachten Sie, dass Sie am Ausgang nur dann einen Dirac-Impuls erhalten, wenn Sie einen Dirac-Impuls eingeben, was in der Praxis nicht der Fall ist. Ein Dirac-Impuls in der Impulsantwort bedeutet nur, dass ein Teil des Ausgangs eine (möglicherweise skalierte und verzögerte) Kopie des Eingangs ist. Jedes System mit einem Frequenzgang, der eine endliche Grenze ungleich Null hat$\lim_{\omega\to\infty}H(j\omega)$hat einen Dirac-Impuls in seiner Impulsantwort. Einige Beispiele für solche Systeme, für die diese Grenze existiert und endlich ist, sind Hochpassfilter, Bandsperrfilter und Allpassfilter. Ihr Sperrfilter ist ein Sonderfall eines Bandsperrfilters.