Lassen $P(x)=a_0+a_1x+a_2 x^2+a_3x^3+…+a_nx^n$ und $P(1)=4$ und $P(5)=136$
Lassen $P(x)$ ein Polynom sein, so dass, $$P(x)=a_0+a_1x+a_2 x^2+a_3x^3+.......+a_nx^n,~~(a_i,n\in{Z^{\geq 0}})$$
$$ P(1)=4, P(5)=136$$
Wir müssen finden $P(3)$
Dieses Problem ist schwieriger als es aussieht (zumindest für mich)
Was ich versuchte zu tun war $$P(1)=a_0+a_1+a_2+a_3+.......+a_n=4$$ und $$P(5)=a_0+5a_1+25a_2 +125a_3+.......+a_n5^n$$
Lassen $P(1)=S$und wir nehmen $a_0$ zur Seite von $S$ und multiplizieren $(S-a_0)$ durch $5$und einige Stornierungen. Einfach führt es nirgendwo hin
Kann ich einige Hinweise zum weiteren Vorgehen erhalten?
Antworten
Die entscheidende Beobachtung ergibt sich aus der Tatsache, dass die Koeffizienten in sein müssen $\mathbb{Z}^{\geq 0}$.
$P(5) = 136$ kann nur auf folgende Weise mit Potenzen von 5 geschrieben werden:
- $1 + (27)(5)$
- $1 + (22-5i)(5) + (i+1)(5^2)$ zum $i = 0,1,2,3,4$
- $1 + (2)(5) + (1)(5^3)$
Der einzige, der befriedigt $P(1) = 4$ ist der letzte, der ist $P(x) = 1 + 2x + x^3$.
Deshalb, $P(3) = 34$
Deutlich $n\le 3$ wie $a_n5^n>136$ zum $n\ge 4$ und $a_n\ge 1$. Schon seit$P(5)=136$ diese Kräfte $a_3\le 1$. Wenn$a_3=1$, deutlich $a_2=0$ welche Kräfte $a_1=2$ und $a_0=1$. Wenn$n=2$, wie $a_0+a_1+a_2=4$ist es einfach zu überprüfen, ob alle $a_i$ sind kleiner oder gleich $4$, $P(5)=136$ ist nicht erreichbar.
Okay ... Hinweise.
Was ist der Rest von $136$ geteilt durch $5,25, 125$ und $625$.
Was sagt das aus? $P(5) = \sum_{k=0}^n 5^k a_k$ und die Werte von $a_k$.
Und $P(1) = \sum_{k=0}^n 1^k\cdot a_k$. Was sagt das über die Anzahl der Werte ungleich Null aus?$a_k$ es gibt und was ihre Maximalwerte sein können.
Ich hoffe mit diesen Hinweisen, dass man nicht nur was sagen kann $P(3)$ ist, können Sie ausdrücken $P(x)$ mit absoluter Sicherheit.
Hinweis: Angesichts dessen $P(1)=4$Ich bin versucht zu schreiben $P(x) = x^{n_1}+x^{n_2}+x^{n_3}+x^{n_4}$ wo $n_1,n_2,n_3,n_4$sind nicht unbedingt verschieden. Dann mit der Tatsache$P(5)=136$ sollte einfacher sein.