Limit mit Riemann-Summen [Duplikat]

Jan 08 2021

Ich habe Probleme beim Lösen des folgenden Limits:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt[n] e + \sqrt[n] {e^2} + ... + \sqrt[n] {e^n}}{n}$$

Diese Frage steht im Abschnitt "Riemann-Summe", also denke ich, dass wir dies in ein Integral umwandeln sollten, also:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt[n] e + \sqrt[n] {e^2} + ... + \sqrt[n] {e^n}}{n} = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n} \sqrt [n] {e^k} = \int_a^b f(x) dx$$

ich denke, dass$n$ist die Anzahl der Partitionen und$1/n$ist die Länge von jedem, also bedeutet dies das$b - a = 1$oder$b = a+1$, was bedeutet, dass wir nur einen Wert für finden müssen$a$und$b$wird das sein$+1$. Aber jetzt kann ich den Wert nicht finden$a$Noch$f(x)$. Wie kann ich das lösen?

Antworten

3 JoséCarlosSantos Jan 08 2021 at 01:58

Beachten Sie, dass$\sqrt[n]{e^k}=e^{k/n}$und das deshalb$$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^ne^{k/n}=\int_0^1e^x\,\mathrm dx=e-1.$$